Question

17．半径为r的⊙A、⊙B与半径为2r的⊙C，这三个小圆两两外切，并都在半径为R的⊙O内，且与之外切，则$\frac{R}{r}$=$\frac{4+3\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由两圆的位置关系相切得到AD=BD=r，AC=BC=r+2r=3r，OA=OB=R-r，OC=R-2r，根据等腰三角形的性质得到CD⊥AB，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：如图根据题意得，∵AD=BD=r，AC=BC=r+2r=3r，OA=OB=R-r，OC=R-2r，
∴CD⊥AB，
∴CD²=AC²-AD²，
∴CD=2$\sqrt{2}$r，
∴OD=CD-OC=2$\sqrt{2}$r-R+2r，∵AD²+OD²=AO²，
∴r²+（2$\sqrt{2}$r-R+2r）²=（R-r）²，
∴（6+4$\sqrt{2}$）r=（2$\sqrt{2}$+1）R，
∴$\frac{R}{r}$=$\frac{4+3\sqrt{2}}{2}$，
故答案为：$\frac{4+3\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了两圆的位置关系，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握两圆的位置关系是解题的关键．