Question

11．对于平面直角坐标系中的任意两点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），我们把
|x₁-x₂|+|y₁-y₂|叫做P₁、P₂两点间的直角距离，记作d（P₁，P₂）．
（1）令P₀（2，-3），O为坐标原点，则d（O，P₀）=5；
（2）已知O为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P）=1，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形；
（3）设P₀（x₀，y₀）是一定点，Q（x，y）是直线y=ax+b上的动点，我们把d（P₀，Q）的最小值叫做P₀到直线y=ax+b的直角距离． 若P（a，-3）到直线y=x+1的直角距离为6，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由P₀与原点O的坐标，利用题中的新定义计算即可得到结果；
（2）利用题中的新定义列出x与y的关系式，画出相应的图象即可；
（3）设直线y=x+1上一点Q（x，x+1），表示出d（P，Q），由P（a，-3）到直线y=x+1的直角距离为6列出方程，分类讨论a与x的正负，利用绝对值的代数意义化简，求出a的值即可．

解答 解：（1）根据题意得：d（O，P₀）=|2-0|+|-3-0|=2+3=5；
故答案为：5；
（2）由题意，得|x|+|y|=1，
所有符合条件的点P组成的图形如图所示；
（3）∵P（a，-3）到直线y=x+1的“直角”距离为6，
∴设直线y=x+1上一点Q（x，x+1），则d（P，Q）=6，
∴|a-x|+|-3-x-1|=6，即|a-x|+|x+4|=6，
当a-x≥0，x≥-4时，原式=a-x+x+4=6，解得a=2；
当a-x＜0，x＜-4时，原式=x-a-x-4=6，解得a=-10，
综上，a的值为2或-10．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：绝对值的代数意义，利用了分类讨论的思想，弄清题中的新定义是解本题的关键．