Question

如图，定义：若双曲线y=

k

x

（k＞0）与它的其中一条对称轴y=x相交于A、B两点，则线段AB的长度为双曲线y=

k

x

（k＞0）的对径．
（1）求双曲线y=

1

x

的对径．
（2）若双曲线y=

k

x

（k＞0）的对径是8

2

，求k的值．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：（1）解两个函数的解析式组成的方程组求得交点坐标，过A点作AC⊥x轴于C，；利用勾股定理求得OA的长，则AB即可求解；
（2）△AOC是等腰直角三角形，利用三角函数求得OC和OC的长，则A的坐标可以求得，然后利用待定系数法即可求解．

解答：解：过A点作AC⊥x轴于C，如图，
（1）解方程组

y= 1 x y=x

，得

x1=1 y1=1

，

x2=-1 y2=-1

，
∴A点坐标为（1，1），B点坐标为（-1，-1），
∴OC=AC=1，∴OA=

2

，OC=

2

，∴AB=2OA=2

2

，
∴双曲线y=

1

x

的对径是2

2

；
（2）∵双曲线的对径为8

2

，即AB=8

2

，OA=4

2

，
∵OA=

2

OC=

2

AC，
∴OC=AC=4，
∴点A坐标为（4，4），
把A（4，4）代入双曲线y=

k

x

（k＞0）得k=16，
即k的值为16．

点评：本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方法．