Question

选做题：请你从甲、乙两题中任选一题作答，如果两题都做，只以甲题计分．
甲题：如图，已知反比例函数y1=

k1

x

（k₁＞0）与一次函数y₂=k₂x+1 （k₂≠0）相交于A、B两点，AC⊥x轴于点C．若△OAC的面积为1，且tan∠AOC=2．
（1）求出反比例函数与一次函数的解析式；
（2）请直接写出B点的坐标，并指出当x为何值时，反比例函数y₁的值大于一次函数y₂的值？
乙题：如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB．
（1）求证：DC为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，AD=4，求AC的长．

Answer 1

考点：切线的判定,反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：甲题：（1）先求出AC=2OC，根据三角形面积求出A的坐标，代入函数的解析式求出即可；
（2）求出B的坐标，根据A、B的坐标结合图象得出即可；
乙题：（1）连接OC，求出OC和AD平行，推出OC⊥DC，根据切线的判定得出即可；
（2）证△DAC和△CAB相似，得出比例式，代入求出即可．

解答：甲题解：（1）在Rt△OAC中，设OC=m，
∵tan∠AOC=

AC

OC

=2，
∴AC=2×OC=2m，
∵S_△AOC=

1

2

×OC×AC=

1

2

×m×2m=1，
∴m²=1，
∴m=1或m=-1（舍去），
∴m=1，
∴A点的坐标为（1，2），
把A点的坐标代入y₁=

k1

x

中，得k₁=2，
∴反比例函数的表达式为y₁=

2

x

，
把A点的坐标代入y₂=k₂x+1，得k₂=1，
∴一次函数的表达式是y₂=x+1；

（2）B点的坐标为（-2，-1），
当0＜x＜1或x＜-2时，y₁＞y₂．

乙题（1）证明：如图，连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
又∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠OAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥DC，
∴OC⊥DC，
∴DC为⊙O的切线．          

（2）解：连接BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵AD⊥DC，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACB=∠ADC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∴△ABC∽△ACD，
∴

AB

AC

=

AC

AD

，
∴AC²=AB•AD，
∵AB=2×3=6，AD=4，
∴AC=2

6

．

点评：本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，切线的判定，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理和性质进行推理和计算的能力，题目比较好，难度适中．