Question

4．已知A，B两点在数轴上表示的数为a和b，O为原点．
（1）若A，B的位置如图1所示，
①用含a，b的式子表示A，B两点之间的距离为b-a；
②化简：|a|+|b|+|a-b|=2b-2a；
（2）如图2，M为AB中点，N为OA中点，且MN=2AB-15，a=-3．
①P为数轴上一点，若PA=$\frac{2}{3}$AB，试求点P对应的数为多少？
②在数轴上是否存在点Q，使得它表示的数x满足|x-a|+|x-b|=12？若存在，求出点Q；若不存在，说明理由．
③若关于x的方程|x-a|+|x-b|=m有解，直接写出m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）①用B点表示的数减去A点表示的数即可得到A，B两点之间的距离；②先根据绝对值的意义去绝对值符合，然后合并即可；
（2）①利用线段的中点定义得到AM=$\frac{1}{2}$AB，AN=$\frac{1}{2}$AO，则MN=AM-AN=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1}{2}$b，所以$\frac{1}{2}$b=2（b+3）-15，解得b=6，则AB=9，PA=6，然后分类讨论：当P点在A点左侧时，P点表示的数为-9；当P点在A点右侧时，P点表示的数为3；②分类讨论：当x≤-3时，-x-3-x+6=12；当-3＜x＜6时，x+3-x+6=12；当x≥6时，x+3+x-6=12，然后分别解方程求出x即可得到Q点表示的数；③对于|x+3|+|x-6|=m，当x≤-3时，-x-3-x+6=m，解得x=$\frac{3-m}{2}$，利用x的取值范围得到$\frac{3-m}{2}$≤-3，解得m≥9；当-3＜x＜6时，x+3-x+6=m，易得m=9；当x≥6时，x+3+x-6=m，解得x=$\frac{m+3}{2}$，利用x的取值范围得到$\frac{m+3}{2}$≥6，解得m≥9，于是可判断m的取值范围为m≥9．

解答 解：（1）①A，B两点之间的距离为|b-a|=b-a；
②|a|+|b|+|a-b|=-a+b+b-a=2b-2a；
故答案为b-a，2b-2a；
（2）①∵M为AB中点，N为OA中点，
∴AM=$\frac{1}{2}$AB，AN=$\frac{1}{2}$AO，
∴MN=AM-AN=$\frac{1}{2}$AB-$\frac{1}{2}$AO=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1}{2}$b，
∵MN=2AB-15，a=-3，
∴$\frac{1}{2}$b=2（b+3）-15，解得b=6，
∴AB=6+3=9，
∵PA=$\frac{2}{3}$AB，
∴PA=$\frac{2}{3}$×9=6，
当P点在A点左侧时，P点表示的数为-9；
当P点在A点右侧时，P点表示的数为3；
②存在．
|x+3|+|x-6|=12，
当x≤-3时，-x-3-x+6=12，解得x=$\frac{3-m}{2}$，则$\frac{3-m}{2}$≤-3；
当-3＜x＜6时，x+3-x+6=12，无解；
当x≥6时，x+3+x-6=12，解得x=7.5，
所以满足条件的Q点表示的数为-4.5或7.5；
③|x+3|+|x-6|=m，
当x≤-3时，-x-3-x+6=m，解得x=$\frac{3-m}{2}$，则$\frac{3-m}{2}$≤-3，解得m≥9；
当-3＜x＜6时，x+3-x+6=m，m=9；
当x≥6时，x+3+x-6=m，解得x=$\frac{m+3}{2}$，则$\frac{m+3}{2}$≥6，解得m≥9
所以m的取值范围为m≥9．

点评 本题考查了绝对值：当a是正数时，a的绝对值是它本身a； 当a是负数时，a的绝对值是它的相反数-a； 当a是零时，a的绝对值是零．也考查了数轴．