Question

12．（1）已知：如图1，四边形BCDE是矩形，AB=AC．求证：AE=AD；
（2）如图2，△ABC的边AC与⊙O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B．若∠A=30°，求∠C．

Answer 1

分析 （1）欲证明AE=AD，只要证明△ABE≌△ACD即可．
（2）如图2中，连接OB，根据∠C=$\frac{1}{2}$∠AOB，求出∠AOB即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，∵四边形BCDE是矩形，
∴EB=DC，∠EBC=∠DCB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠EBA=∠DCA，
在△ABE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{EB=DC}\\{∠ABE=∠ACD}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACD，
∴AE=AD．
（2）解：如图2中，连接OB．
∵AB是⊙O切线，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO=90°，
∵∠A=30°，
∴∠AOB=60°，
∴∠C=$\frac{1}{2}$∠AOB=30°

点评 本题考查切线的性质，圆周角与圆心角的关系定理，解题的关键是熟练掌握这些知识，属于基础题，中考常考题型．