Question

如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=12．动点M、N分别从点B、D同时出发，以每秒1个单位长度的速度运动．其中点M沿BC向终点C运动，点N沿DA向终点A运动，过点N作NP⊥BC于点Q，交AC于点P，连接MP．设动点运动的时间为t秒．
（1）当t=6时，PM=

 

；
（2）t为何值时，△PMC的面积等于矩形ABCD面积的

1

9

？

Answer 1

分析：（1）由于∠NQC=∠B=90°，∠C=∠C，所以△CQP∽△CBA，即：

PQ

AB

=

CQ

CB

，当t=6时，DN=6，BM=6，BC=12，即：CM=6，点M与点Q重合，可得出：PM=

CM

BC

×AB，分别代入AB、BC、CQ的值求出PM即可；
（2）由（1）可得出

PQ

AB

=

CQ

CB

，当t秒后，CQ=t，所以PQ=

1

2

t，CM=CB=BM=12-t，S_△PMC=

1

2

×PQ×CM=

1

2

×

1

2

t×（12-t）=

1

9

×6×12，解该方程求出t的值，并判断t的值是否符合题意，若符合则说明是要求的t的值．

解答：解：（1）由题意得：
当t=6时，DN=6，BM=6，BC=12，即：CM=6
又∵NP⊥BC于点Q
∴CQ=DN=6
∴当t=6时，点M与点Q重合
又∵∠NQC=∠B=90°，∠C=∠C
∴△CQP∽△CBA
∴

PQ

AB

=

CQ

CB

即：

PM

AB

=

CM

CB

=

6

12

∴PM=

1

2

×AB=

1

2

×6=3cm．

（2）当经过t秒后，CQ=ND=t，BM=t，MC=BC-BM=12-t，
S_△PMC=

1

2

×CM×PQ=

1

2

（12-t）×PQ，
由（1）可知：

PQ

AB

=

CQ

CB

即：PQ=

CQ

CB

×AB=

6

12

×CQ=

1

2

t，
又∵△PMC的面积等于矩形ABCD面积的

1

9

，
即：S_△PMC=

1

2

（12-t）×

1

2

t=

1

9

×6×12
t²-12t+32=0，
∴t₁=4，t₂=8．
所以，当t为4秒或者8秒时，△PMC的面积等于矩形ABCD面积的

1

9

．

点评：本题主要考查了矩形的性质以及相似三角形的判定等知识点，关键在于理解清楚题意，列出关系式求解即可．