Question

【题目】已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB≥AC，D，E分别为AC，BC边上的点（不包括端点），且==m，连结AE，过点D作DM⊥AE，垂足为点M，延长DM交AB于点F．

（1）如图1，过点E作EH⊥AB于点H，连结DH．

①求证：四边形DHEC是平行四边形；

②若m=，求证：AE=DF；

（2）如图2，若m=，求的值．

Answer 1

【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）

【解析】（1）①先判断出△BHE∽△BAC，进而判断出HE=DC，即可得出结论；

②先判断出AC=AB，BH=HE，再判断出∠HEA=∠AFD，即可得出结论；

（2）先判断出△EGB∽△CAB，进而求出CD：BE=3：5，再判断出∠AFM=∠AEG进而判断出△FAD∽△EGA，即可得出结论．

（1）①证明：∵EH⊥AB，∠BAC=90°，

∴EH∥CA，

∴△BHE∽△BAC，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴HE=DC，

∵EH∥DC，

∴四边形DHEC是平行四边形；

②∵，∠BAC=90°，

∴AC=AB，

∵，HE=DC，

∴HE=DC，

∴，

∵∠BHE=90°，

∴BH=HE，

∵HE=DC，

∴BH=CD，

∴AH=AD，

∵DM⊥AE，EH⊥AB，

∴∠EHA=∠AMF=90°，

∴∠HAE+∠HEA=∠HAE+∠AFM=90°，

∴∠HEA=∠AFD，

∵∠EHA=∠FAD=90°，

∴△HEA≌△AFD，

∴AE=DF；

（2）如图，过点E作EG⊥AB于G，

∵CA⊥AB，

∴EG∥CA，

∴△EGB∽△CAB，

∴，

∴，

∵，

∴EG=CD，

设EG=CD=3x，AC=3y，

∴BE=5x，BC=5y，

∴BG=4x，AB=4y，

∵∠EGA=∠AMF=90°，

∴∠GEA+∠EAG=∠EAG+∠AFM，

∴∠AFM=∠AEG，

∵∠FAD=∠EGA=90°，

∴△FAD∽△EGA，

∴.