Question

20．如图1，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，正方形DEFG的顶点D、G分别在AB、AC上，EF在BC上．
（1）求正方形DEFG的边长；
（2）如图2，在BC边上放两个小正方形DEFG、FGMN，则DE=$\frac{12}{7}$．

Answer 1

分析 （1）过点作AM⊥BC于点M，由AB=AC=10，BC=16，根据等腰三角形的性质与勾股定理，即可求得AM的长，又由四边形DEFG是矩形，易证得△ADG∽△ABC，设MN=DE=x，由相似三角形对应高的比等于相似比，即可得方程$\frac{DG}{6}=\frac{4-x}{4}$，则可表示出DG的长，由正方形的性质可得DE=DG，可得结果；
（2）由题意得：DN=2DE，由（1）知：$\frac{2DE}{BC}=\frac{4-DE}{4}$，即可得到结论．

解答 解：过点作AM⊥BC于点M，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BM=$\frac{1}{2}$BC=3，
在Rt△ABM中，AM=$\sqrt{A{B}^{2}-B{M}^{2}}$=4，
∵四边形DEFG是矩形，
∴DG∥EF，DE⊥BC，
∴AN⊥DG，四边形EDMN是矩形，
∴MN=DE，
设MN=DE=x，
∵DG∥EF，
∴△ADG∽△ABC，
∴DG：BC=AN：AM，
∴$\frac{DG}{6}=\frac{4-x}{4}$，
解得：DG=-$\frac{3}{2}$x+6，
∵四边形DEFG为正方形，
∴DE=DG，即x=-$\frac{3}{2}$x+6，
解得x=$\frac{12}{5}$，
∴正方形DEFG的边长为$\frac{12}{5}$；

（2）由题意得：DN=2DE，
由（1）知：$\frac{2DE}{BC}=\frac{4-DE}{4}$，
∴DE=$\frac{12}{7}$．
故答案为：$\frac{12}{7}$．

点评 本题考查了正方形的性质、平行线分线段成比例定理的推论、相似三角形的判定和性质，相似三角形对应高的比等于相似比．