Question

16．如图，把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB=DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，AB=6cm，DC=7cm．把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D′CE′，如图乙，这时AB与CD′相交于点O，D′E′与AB、CB分别相交于点F、G，连接AD′．
（1）求∠OFE′的度数；
（2）求线段AD′的长．

Answer 1

分析 （1）由∠BCE′=15°，∠E′=90°，易得∠CGE′=∠FGB=75°，可得∠OFE₁=∠B+∠FGB=45°+75°=120°；
（2）由∠OFE′=∠120°，得∠D′FO=60°，所以∠D′OF=90°，由AC=BC，AB=6cm，得OA=OB=OC=3cm，所以，OD′=CD′-OC=7-3=4cm，在Rt△AD′O中，AD′=$\sqrt{{OA}^{2}{+OD′}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}{+4}^{2}}$=5（cm）．

解答 解：（1）由题意可知∠BCE′=15°，∠E′=90°，
∵∠CGE′=∠FGB，
∴∠FGB=75°，
∵∠B=45°，
∴∠OFE′=∠B+∠FGB=45°+75°=120°；

（2）∵∠OFE′=120°，∠CD′E′=30°，
∴∠D′OF=90°，
∵AC=BC，AB=6cm，OC⊥AB，
∴OA=OB=3cm，
∵∠OAC=45°，
∴∠OCA=45°，
∴OC=OA=3cm，
∵CD′=7cm，
∴OD′=4cm，
在Rt△AD′O中，
AD′=$\sqrt{{OA}^{2}{+OD′}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}{+4}^{2}}$=5（cm）

点评 本题主要考查了勾股定理和旋转的性质，能熟练应用勾股定理，掌握旋转前后的两个图形完全相等是解答此题的关键．