Question

16．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，CD=2DE，延长ED到点F，使得DF=CD，连接BF．
（1）求证：四边形BCDF是菱形；
（2）若CD=2，∠FBC=120°，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）首先证明四边形BCFE是平行四边形，再证明邻边相等即可．
（2）首先证明△BCD是等边三角形，再证明∠ACB=90°，在Rt△ACB中利用勾股定理即可解决问题．

解答 （1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC且2DE=BC，AD=BD，
又∵CD=2DE，DF=CD，
∴DF=BC=CD，DF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形，
又∵DF=CD，
∴四边形BCDF是菱形．

（2）解：∵四边形BCDF是菱形，∠FBC=120°
∴∠DBC=∠DBF=60°，
∵BC=CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴AD=BD=CD=2，∠BDC=∠BCD=60°，
∴∠A=∠ACD，AB=4，
∵∠A+∠ACD=∠BDC，
∴∠A=∠ACD=30°，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°，
∴在Rt△ABC中，$AC=\sqrt{A{B^2}-B{C^2}}=\sqrt{{4^2}-{2^2}}=2\sqrt{3}$．

点评 本题考查菱形的判定和性质、时间最中位线定理、等边三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．