Question

如图，已知△ABC中 AB=AC，∠A=36°，使点A、B重合对折，折痕为MD，连接BD．若△BCD的周长为5，BC=2．
（1）图中除△ABC外还有哪些等腰三角形，并选其中一个三角形说明理由．
（2）求△ABC的周长．
（3）求折痕MD的长．

Answer 1

解：（1）△ADB、△BDC是等腰三角形．
证明：∵点A、B重合对折，折痕为MD，
∴△ADM≌△BDM，
∴∠A=∠ABD，
∴BD=AD，
即△ADB是等腰三角形；
（2）由（1）知：BD=AD，
∵△BCD的周长为5，
∴BD+CD+BC=5，
又AD+CD=AC，
∴AC+BC=5，
∴AC=5﹣BC=5﹣2=3，
∴△ABC的周长为AC+BC+AB=5+3=8；
（3）∵AC=3，D为AB中点，
∴AM=，MD⊥AB，
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
又∴∠A=∠ABD=36°，
∴∠DBC=36°，∠BDC=72°
∴BD=BC=AD=2，
在Rt△AMD中，由勾股定理得，DM===，
∴折痕MD的长为．