如图①.已知直线y=3x+3与x轴交于点A.与y轴交于点D.与直线y=$\frac{3}{4}$x交于点E.过点D作DC∥x轴.交直线y=$\frac{3}{4}$x于点C．过点C作CB∥AD交x轴于点B．,(2)以线段AD的中点M为圆心作⊙M.当⊙M与直线CE相切时.求⊙M的半径,(3)如图②.点P从点O出发.沿线段OC向终点C运动.点Q从点C出发.沿线段CD向终点D运动．若P.Q� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．如图①，已知直线y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点D，与直线y=$\frac{3}{4}$x交于点E，过点D作DC∥x轴，交直线y=$\frac{3}{4}$x于点C．过点C作CB∥AD交x轴于点B．（1）点C的坐标是（4，3）；
（2）以线段AD的中点M为圆心作⊙M，当⊙M与直线CE相切时，求⊙M的半径；
（3）如图②，点P从点O出发，沿线段OC向终点C运动，点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．若P、Q两点同时出发，速度均为1单位长度/s，时间为ts，当点Q到达终点时，P、Q两点均停止运动．在点P、Q的运动过程中，将线段PQ绕点P沿顺时针方向旋转90°后，设点Q的对应点为R．当点R落在四边形ABCD一边所在的直线上时，直接写出t的值．

分析（1）根据DC∥x轴可得到点C的纵坐标等于点D的纵坐标，只需求出点D的坐标，就可得到点C的纵坐标，然后把点C的纵坐标代入直线CE的表达式，就可求出点C的坐标；
（2）设⊙M与直线CE的切点为H，连接MH，M0，根据圆的切线的性质可得MH⊥CE．过点M作x轴的垂线交x轴于N，交直线DC于G，如图1，只需运用面积法就可解决问题；
（3）过点P作x轴的垂线，交DC于S，交过点R垂直于y轴的直线于T，如图2．设R点的坐标为（x，y），由题意可得到点P、Q的坐标（用t的代数式表示），易证△QSP≌△PTR，则有SQ=PT，PS=RT，由此可得到点R的坐标（用t的代数式表示），然后只需对点R分别在四边形ABCD四边所在的直线上进行讨论，就可解决问题．

解答解：（1）当x=0时，y=3x+3=3，故D（0，3）．
∵DC∥x轴，∴y_C=y_D=3．
∵点C在直线y=$\frac{3}{4}$x上，
∴3=$\frac{3}{4}$x_C，
∴x_C=4，
∴C（4，3）．
故答案为（4，3）；

（2）设⊙M与直线CE的切点为H，连接MH，M0，则有MH⊥CE．
过点M作x轴的垂线交x轴于N，交直线DC于G，如图1，

由直线y=3x+3可得点A（-1，0），OA=1，
∴AD的中点M坐标为（$\frac{-1+0}{2}$，$\frac{0+3}{2}$）即（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∴MN=$\frac{3}{2}$，MG=3-$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$．
∵S_△OMC=S_梯形OADC-S_△OAM-S_△MDC，
∴$\frac{1}{2}$OC•MH=$\frac{1}{2}$（DC+OA）•OD-$\frac{1}{2}$OA•MN-$\frac{1}{2}$DC•MG，
∴$\frac{1}{2}$×$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$•MH=$\frac{1}{2}$（4+1）×3-$\frac{1}{2}$×1×$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$×4×$\frac{3}{2}$，
∴MH=$\frac{3}{2}$，
∴⊙M的半径为$\frac{3}{2}$；

（3）t=$\frac{5}{3}$或t=$\frac{20}{9}$或t=$\frac{35}{12}$．
提示：过点P作x轴的垂线，交DC于S，交过点R垂直于y轴的直线于T，如图2．

设R点的坐标为（x，y），
由题可得CQ=OP=t，则有P（$\frac{4t}{5}$，$\frac{3t}{5}$），Q（4-t，3），
易证△QSP≌△PTR，则有SQ=PT，PS=RT，
∴4-t-$\frac{4t}{5}$=$\frac{3t}{5}$-y，3-$\frac{3t}{5}$=x-$\frac{4t}{5}$，
∴y=$\frac{12t}{5}$-4，x=$\frac{t}{5}$+3，
∴R点的坐标为（$\frac{t}{5}$+3，$\frac{12t}{5}$-4）．
①当点R在直线AB上时，$\frac{12t}{5}$-4=0，解得t=$\frac{5}{3}$；
②当点R在直线BC上时，
由BC∥AD可设y=3x+b，把点C（4，3）代入可得b=-9，
∴直线BC的表达式为y=3x-9，
∴$\frac{12t}{5}$-4=3（$\frac{t}{5}$+3）-9，
解得t=$\frac{20}{9}$；
③当点R在直线DC上时，$\frac{12t}{5}$-4=3，解得t=$\frac{35}{12}$；
④当点R在直线AD上时，
可得$\frac{12t}{5}$-4=3（$\frac{t}{5}$+3）+3，
解得t=$\frac{80}{9}$．
由题可得0≤t≤4，
∵$\frac{80}{9}$＞4，∴舍去．
综上所述：t=$\frac{5}{3}$或t=$\frac{20}{9}$或t=$\frac{35}{12}$．

点评本题主要考查了圆的切线的性质、用待定系数法求直线的解析式、直线上点的坐标特征、三角形全等的判定与性质等知识，在解决问题的过程中用到了分类讨论、面积法、待定系数法等重要的数学思想方法，应熟练掌握，当然第（2）小题也可通过三角形相似来求圆的半径，而通过构造三角形全等得到点R的坐标则是解决第（3）小题的关键．

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