Question

如图，已知⊙P和⊙O 相交于A、G两点，AB是⊙O的直径，且交⊙P于点E，⊙O的弦CD过点E，且CD⊥AB交⊙P于F，FA与⊙O交于M，且F、G、B三点在一条直线上，GE的延长线交⊙O于N，连结AN．
（1）求证：AB平分∠MAN；
（2）若N是

AB

的中点，求证：BE+EF=

2

AM；
（3）若⊙O的半径为5，EF=2CE=6，求AN的长．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）根据圆周角定理得∠NAB=∠NGB，根据圆内接四边形的性质得∠NGB=∠FAE，则∠NAB=∠FAE，即AB平分∠MAN；
（2）连接ON，OM，如图1，由N是

AB

的中点，根据垂径定理的推理得到NO⊥AB，则∠NAO=45°，所以∠FAE=45°，易判断△AOM为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得OA=

2

2

AM；由于CD⊥AB，易得△AEF为等腰直角三角形，得到EF=AE，所以EF+BE=AB，加上AB=2OA，于是可得BE+EF=

2

AM；
（3）连接OC，BN，如图2，由EF=2CE=6得到CE=3，利用勾股定理，在Rt△OCE中计算出OE=4，则AE=9，在Rt△AEF中，再利用勾股定理计算出AF=3

13

，
由于AB为⊙O的直径，根据圆周角定理得∠ANB=90°，加上∠NAB=∠FAE，根据相似三角形的判定方法得到Rt△ANB∽Rt△AEF，然后利用相似比可计算出AN．

解答：（1）证明：∵∠NAB=∠NGB，
而∠NGB=∠FAE，
∴∠NAB=∠FAE，
∴AB平分∠MAN；
（2）证明：连接ON，OM，如图1，
∵N是

AB

的中点，
∴NO⊥AB，
而OA=ON，
∴∠NAO=45°，
∴∠FAE=45°，
∵OM=OA，
∴∠AMO=45°，
∴△AOM为等腰直角三角形，
∴OA=

2

2

AM，
∵CD⊥AB，
∴△AEF为等腰直角三角形，
∴EF=AE，
∴EF+BE=AE+BE=AB，
而AB=2OA，
∴BE+EF=

2

AM；
（3）解：连接OC，BN，如图2，
∵EF=2CE=6，
∴CE=3，
在Rt△OCE中，OC=5，CE=3，
∴OE=

52-32

=4，
∴AE=OA+OE=9，
在Rt△AEF中，EF=6，AE=9，
∴AF=

AE2+EF2

=3

13

，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ANB=90°，
∵∠NAB=∠FAE，
∴Rt△ANB∽Rt△AEF，
∴

AN

AE

=

AB

AF

，即

AN

9

=

10

3 13

，
∴AN=

30 13

13

．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理及其推理、圆周角定理、圆内接四边形的性质和等腰直角三角形的判定与性质；会运用勾股定理和相似比进行几何计算．