Question

已知抛物线y=a（x-2）²+k（a＜0）与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），交y轴正半轴交于C点．记抛物线的顶点为E，将E绕C点旋转180°，对应点F落在x轴上，若△BEF为等腰三角形，求tan²E的值．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：根据题意画出图形，过点E作EM⊥x轴于点M，先得出抛物线的对称轴，故可得出E（2，k），将E绕C旋转180°，对应点F落在x轴，E的纵坐标是C的纵坐标的2倍，F的横坐标与E的横坐标关于y轴对称，由此得出F，C点的坐标，故可得出k=-8a，再将原方程化为y=ax²-4ax-4a，求出x的值，根据点A在B左边可得出A、B两点的坐标，根据两点间的距离公式表示出EF，EB及BF的长，根据EF≠EB可知当△BEF是等腰三角形时有：EF=BF或EB=BF，由此可得出a的值，进而得出结论．

解答：解：过点E作EM⊥x轴于点M，
∵抛物线y=a（x-2）²+k（a＜0）的对称轴为x=2，
∴当x=2时，y=k，
∴E（2，k），
∵将E绕C旋转180，对应点F落在x轴，
∴E的纵坐标是C的纵坐标的2倍，
∴F的横坐标与E的横坐标关于y轴对称，
∴F（-2，0），
∵当x=0时y=4a+k，
∴C（0，4a+k），
∴k=2（4a+k），
∴k=-8a，
∴E（2，-8a），
∴原方程化为y=ax²-4ax-4a．
∵a＜0，
∴当y=0时，x²-4x-4=0，
解得：x₁=2+2

2

，x₂=2-2

2

，
∵A在B左边，
∴A（2-2

2

，0），B（2+2

2

，0），
∵EF=

(2+2)2+(-8a)2

=4

1+4a2

，
EB=

(2-2-2 2 )2+(-8a)2

=2

2+16a2

，
BF=2+2

2

-（-2）=4+2

2

，
∴EF≠EB
∴△BEF是等腰三角形时有：EF=BF或EB=BF，
①当EF=BF时：4

1+4a2

=4+2

2

，
解得：a₁=-

2+4 2

4

，a₂=

2+4 2

4

（舍去），
∴E（2，2

2+4 2

），
∴tan²E=（

EM

MF

）²=（

2 2+4 2

4

）²=

3+2 2

4

；
②当EB=BF时：2

2+16a2

=4+2

2

，
解得：a₁=-

1+ 2

2

，a₂=

1+ 2

2

（舍去），
∴E（2，4

1+ 2

），
∴tan²E=（

EM

MF

）²=[4

1+ 2

÷4]²=3+2

2

．
综上所述，tan²E=

3+2 2

4

或3+2

2

．

点评：本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．