Question

解方程组

x3+1-xy2-y2=0 y3+1-x2y-x2=0

．

Answer 1

考点：高次方程

专题：计算题

分析：两个方程相减，分解因式得到x、y的关系式，然后分情况求解即可．

解答：解：

x3+1-xy2-y2=0① y3+1-x2y-x2=0②

，
①-②得，x³-y³-xy²+x²y-y²+x²=0，
（x-y）（x²+xy+y²）+xy（x-y）+（x²-y²）=0，
（x-y）（x²+xy+y²）+xy（x-y）+（x+y）（x-y）=0，
（x-y）（x²+2xy+y²+x+y）=0，
（x-y）[（x+y）²+x+y]=0，
（x-y）（x+y）（x+y+1）=0，
∴x-y=0，x+y=0，x+y+1=0，
∴y=x或y=-x或y=-x-1，
当y=x时，x³+1-x•x²-x²=0，
整理得，1-x²=0，
解得x=±1，
∴方程组的解是

x1=1 y1=1

，

x2=-1 y2=-1

；
当y=-x时，x³+1-x•（-x）²-（-x）²=0，
整理得，1-x²=0，
解得x=±1，
∴方程组的解是

x3=1 y3=-1

，

x4=-1 y4=1

；
当y=-x-1时，x³+1-x•（-x-1）²-（-x-1）²=0，
整理得，x²+x=0，
解得x=0或x=-1，
x=0时，y=-1，
x=-1时，y=0，
∴方程组的解是

x5=0 y5=-1

，

x6=-1 y6=0

，
综上所述，方程组的解

x1=1 y1=1

，

x2=-1 y2=-1

，

x3=1 y3=-1

，

x4=-1 y4=1

，

x5=0 y5=-1

，

x6=-1 y6=0

．

点评：本题考查了解高次方程，两个方程相减然后用x表示出y是解题的关键，难点在于分情况讨论．