Question

7．如图，过点O的四条射线OA、OB、OD、OC按逆时针排列，∠AOB=60°，OM平分∠AOC，ON平分∠DOB．
①如图（1），当∠COD=80°时，求∠MON的度数．
②如图（2），若∠COD的度数为n，请用n的式子表示∠MON的度数．
③在②的条件下，当∠AON比∠CON大40°时，求∠MON的度数．

Answer 1

分析 （1）如图1，根据角平分线的定义得到∠BON+∠AOM=10°，根据角的和差关系即可求得∠MON；
（2）如图2，设∠AOM=x°，则∠BOM=∠AOB-∠AOM=60°-x°，根据角平分线的定义得到∠NOB=x°-30°-$\frac{1}{2}$n°，则∠MON=∠NOB+∠BOM即可求解；
（3）根据角平分线的定义和已知条件可得∠COD=20°，由（2）可知∠MON=30°-$\frac{n}{2}$，代入即可求得∠MON．

解答 解：（1）如图1，∵∠COD=80°，∠AOB=60°，
∴∠BOD+∠AOC=20°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，
∴∠BON+∠AOM=10°，
∴∠MON=60°+10°=70°；
（2）如图2，设∠AOM=x°，则∠BOM=∠AOB-∠AOM=60°-x°．
∵OM平分∠AOC，
∴∠COM=∠AOM=x°，
∴∠DOB=∠COM-∠COD-∠BOM=x°-n°-（60°-x°）=2x°-60°-n°，
∵ON平分∠DOB，
∴∠NOB=$\frac{1}{2}$∠DOB=x°-30°-$\frac{1}{2}$n°，
∴∠MON=∠NOB+∠BOM=x°-30°-$\frac{1}{2}$n°+60°-x°=30°-$\frac{1}{2}$n°；
（3）∵ON平分∠DOB，
∴∠DON=∠BON，
∵∠AON比∠CON大40°，∠AOB比∠COD大40°，
∴∠COD=20°，
由（2）可知∠MON=30°-$\frac{n}{2}$，
∴∠MON=20°．

点评 本题主要考查角的计算，角平分线的定义，学生在学习过程中对角度关系及运算的灵活运用和掌握．此类题目的练习有利于学生更好的对角的理解．