Question

8．某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热，并立即将材料分为A、B两组，采用不同工艺做降温对比实验，设降温开始后经过xmin时，A、B两组材料的温度分别为yA℃、yB℃；yA、yB与x的函数关系式分别为yA=kx+b，yB=$\frac{1}{4}$（x-60）²+m（部分图象如图所示，当x=40时，两组材料的温度相同）．
（1）分别求yA、yB关于x的函数关系式；
（2）当A组材料的温度降至120℃时，B组材料的温度是多少？
（3）在0＜x＜40的什么时刻，两组材料温差最大？

Answer 1

分析 （1）根据题意和函数图象中的数据可以分别求得y_A、y_B与x的函数关系式；
（2）将y=120代入（1）中y_A与x的函数关系式，然后将此时x的值再代入（1）中y_B与x的函数关系式，本题得以解决；
（3）根据题意，将（1）中两个函数解析式作差，然后根据0＜x＜40，即可解答本题．

解答 解：（1）由函数图象可得，
当x=0时，y_B=1000，
即1000=$\frac{1}{4}$（0-60）²+m，得m=100，
∴y_B=$\frac{1}{4}$（x-60）²+100，
当x=40时，y_B=$\frac{1}{4}$（40-60）²+100=200，
∴y_A=kx+b过点（0，1000），（40，200），
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=1000}\\{40k+b=200}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{k=-20}\\{b=1000}\end{array}\right.$，
∴y_A=-20x+1000，
即y_A与x的函数关系式为y_A=-20x+1000，y_B与x的函数关系式为y_B=$\frac{1}{4}$（x-60）²+100；
（2）将y_A=120代入y_A=-20x+1000得，
120=-20x+1000，得x=44，
将x=44代入y_B=$\frac{1}{4}$（x-60）²+100，得
y_B=$\frac{1}{4}$（44-60）²+100=164，
即当A组材料的温度降至120℃时，B组材料的温度是164℃；
（3）由题意可得，
当0＜x＜40时，y_A-y_B=-20x+1000-$\frac{1}{4}$（x-60）²-100=-$\frac{1}{4}$x²+10x=-$\frac{1}{4}$（x-20）²+100，
∴当x=20时，两组材料的温差最大，此时两组材料的温差最大为100℃．

点评 本题考查二次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，利用数形结合的思想和函数的思想解答本题．