Question

9．如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD于点O，且AO=BO=4，CO=8，∠ADB=2∠ACB，则四边形ABCD的面积为42．

Answer 1

分析 如图，作∠ADO的平分线DP交AC于P，作PE⊥AD于E．由△POD∽△BOC，得$\frac{OP}{OB}$=$\frac{OD}{OC}$，设OP=x，推出OD=2x，由PE⊥AD，PO⊥DO，∠PDE=∠PDO，推出PE=OP，由$\frac{{S}_{△ADP}}{{S}_{△DPO}}$=$\frac{AP}{OP}$=$\frac{\frac{1}{2}•AD•PE}{\frac{1}{2}•DO•OP}$，推出$\frac{AD}{2x}$=$\frac{4-x}{x}$，推出AD=2（4-x），在Rt△ADO中，根据AD²=AO²+DO²，可得4（4-x）²=4x²+4²，求出x的值，再根据S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△BDC=$\frac{1}{2}$•BD•AO+$\frac{1}{2}$•BD•OC=$\frac{1}{2}$•BD（OA+OC）计算即可．

解答 解：如图，作∠ADO的平分线DP交AC于P，作PE⊥AD于E．

∵∠ADO=2∠BCO，
∴∠PDO=∠BCO，
∵∠POD=∠BOC，
∴△POD∽△BOC，
∴$\frac{OP}{OB}$=$\frac{OD}{OC}$，设OP=x，
∴$\frac{x}{4}$=$\frac{DO}{8}$，
∴OD=2x，
∵PE⊥AD，PO⊥DO，∠PDE=∠PDO，
∴PE=OP，
∴$\frac{{S}_{△ADP}}{{S}_{△DPO}}$=$\frac{AP}{OP}$=$\frac{\frac{1}{2}•AD•PE}{\frac{1}{2}•DO•OP}$，
∴$\frac{AD}{2x}$=$\frac{4-x}{x}$，
∴AD=2（4-x），
在Rt△ADO中，∵AD²=AO²+DO²，
∴4（4-x）²=4x²+4²，
∴x=$\frac{3}{2}$，
∴OD=3，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△BDC=$\frac{1}{2}$•BD•AO+$\frac{1}{2}$•BD•OC=$\frac{1}{2}$•BD（OA+OC）=$\frac{1}{2}$×7×12=42．
故答案为42．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、角平分线的性质、勾股定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．