Question

17．如图是一张矩形纸片ABCD，E，F分别是BC，AD上的点，（但不与顶点重合），如果直线EF将矩形分成面积相等的两部分； 
（1）问得到的两个四边形是否相似？若相似，请求出类似比；若不相似，请说明理由．
（2）这样的直线可以作几条？

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质得出AB=CD，AD=BC，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，∠AFE=∠CEF，∠BEF=∠DFE，由两个梯形的面积相等得出AF=EC，得出BE=DF，得出两个四边形四条边成比例，由相似多边形的判定方法即可得出结论；
（2）由矩形是中心对称图形得出EF一定经过矩形的对称中心，即可得出结果．

解答 解：（1）得到的两个四边形相似；理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AD∥BC，
∴∠AFE=∠CEF，∠BEF=∠DFE，
∵S_梯形ABEF=S_梯形CDFE，
∴$\frac{1}{2}$AB（BE+AF）=$\frac{1}{2}$CD（EC+DF），
∴BE+AF=EC+DF，
即BE+AF=EC+AD-AF，
∴2AF=EC+BC-BE=2EC，
∴AF=EC，
∴BE=DF，
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{BE}{DF}=\frac{EF}{FE}=\frac{AF}{EC}$，
又∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，∠AFE=∠CEF，∠BEF=∠DFE，
∴四边形ABEF∽四边形CDFE；
（2）∵直线EF将矩形分成面积相等的两部分，
∴EF一定经过矩形的对称中心，
∴这样的直线可以作无数条．

点评 本题考查了矩形的性质、相似多边形的判定方法；熟练掌握矩形的性质，证明两个四边形四条边成比例得出相似是解决问题的关键．