Question

如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在Rt△ABC中，∠C=90°，若Rt△ABC是“好玩三角形”，则tanA=

 

．

Answer 1

考点：解直角三角形,含30度角的直角三角形

专题：新定义,分类讨论

分析：因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以题中的这条中线不能是斜边上的中线，然后分两种情况进行讨论：①AC边上的中线等于AC；②BC边上的中线等于BC．

解答：解：分两种情况：
①如图1，BD是AC边上的中线，BD=AC．
设AD=DC=k，则BD=AC=2k．
在Rt△BCD中，∵∠C=90°，
∴BC=

BD2-CD2

=

3

k，
∴tanA=

BC

AC

=

3 k

2k

=

3

2

；
②如图2，AD是BC边上的中线，AD=BC．
设BD=DC=k，则AD=BC=2k．
在Rt△ACD中，∵∠C=90°，
∴AC=

AD2-CD2

=

3

k，
∴tanB=

AC

BC

=

3 k

2k

=

3

2

，
∵∠CAB+∠B=90°，
∴tan∠CAB=

1

tanB

=

2

3

=

2 3

3

．
综上可知，所求值为

3

2

或

2 3

3

．
故答案为

3

2

或

2 3

3

．

点评：本题考查了解直角三角形，三角形中线的性质及学生的阅读理解能力，有一定难度．分情况讨论是解题的关键．