Question

9．如图，抛物线y=-x²+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为（1+$\sqrt{2}$，2）或（1-$\sqrt{2}$，2）．

Answer 1

分析 当△PCD是以CD为底的等腰三角形时，则P点在线段CD的垂直平分线上，由C、D坐标可求得线段CD中点的坐标，从而可知P点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标．

解答 解：
∵△PCD是以CD为底的等腰三角形，
∴点P在线段CD的垂直平分线上，
如图，过P作PE⊥y轴于点E，则E为线段CD的中点，
∵抛物线y=-x²+2x+3与y轴交于点C，
∴C（0，3），且D（0，1），
∴E点坐标为（0，2），
∴P点纵坐标为2，
在y=-x²+2x+3中，令y=2，可得-x²+2x+3=2，解得x=1±$\sqrt{2}$，
∴P点坐标为（1+$\sqrt{2}$，2）或（1-$\sqrt{2}$，2），
故答案为：（1+$\sqrt{2}$，2）或（1-$\sqrt{2}$，2）．

点评 本题主要考查等腰三角形的性质，利用等腰三角形的性质求得P点纵坐标是解题的关键．