已知抛物线y=ax2+bx+3.经过点M.且对称轴为x=-$\frac{5}{2}$.交y轴于B．(1)求抛物线对应的解析式,.将△ABO沿x轴向左平移到△DCE.当四边形ABCD为菱形时.试判断C.D是否在抛物线上,中.若点P是抛物线上一个动点.经过点P作PQ∥y轴交直线CD于Q.设点P的横坐标为t.PQ的长度为d.求d与t之间的函数解析式.并直接写出当t为何� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．

已知抛物线y=ax²+bx+3，经过点M（-4，0），且对称轴为x=-$\frac{5}{2}$，交y轴于B．
（1）求抛物线对应的解析式；
（2）若x轴上有一点A（4，0），将△ABO沿x轴向左平移到△DCE（如图），当四边形ABCD为菱形时，试判断C，D是否在抛物线上；
（3）在（2）中，若点P是抛物线上一个动点（点P不与C，D重合），经过点P作PQ∥y轴交直线CD于Q，设点P的横坐标为t，PQ的长度为d，求d与t之间的函数解析式，并直接写出当t为何值时，以P，Q，C，E为顶点的四边形是平行四边形．

分析（1）根据已知求得抛物线与x轴的另一个交点，然后根据待定系数法求得即可；
（2）已知A、B点的坐标，由勾股定理能求出AB的长，若四边形ABCD是菱形，那么AD=BC=AB，可据此求出C、D点的坐标，再代入抛物线的解析式中进行验证即可．
（3）在求d与t之间的函数解析式时，要分两种情况：①抛物线在直线CD上方、②抛物线在直线CD下方；先根据直线CD与抛物线的解析式，表示出P、Q的坐标，它们纵坐标的差即为d的长，当以P、Q、C、E为顶点的四边形是平行四边形时，由于CE∥PQ∥y轴，那么CE必与PQ相等，将CE长代入d、t的函数关系式中，即可求出符合条件的t的值．

解答解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+3，经过点M（-4，0），且对称轴为x=-$\frac{5}{2}$，
∴M关于x=-$\frac{5}{2}$的对称点为（-1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{16a-4b+3=0}\\{a-b+3=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{4}}\\{b=\frac{15}{4}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式：y=$\frac{3}{4}$x²+$\frac{15}{4}$x+3．

（2）∵抛物线y=$\frac{3}{4}$x²+$\frac{15}{4}$x+3交y轴于B．
∴B（0，3），
∵A（4，0），
∴OA=4，OB=3，AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=5；
若四边形ABCD是菱形，则BC=AD=AB=5，
∴C（-5，3）、D（-1，0）．
将C（-5，3）代入y=$\frac{3}{4}$x²+$\frac{15}{4}$x+3中，得：$\frac{3}{4}$×（-5）²+$\frac{15}{4}$×（-5）+3=3，所以点C在抛物线上；
同理可证：点D也在抛物线上．

（3）设直线CD的解析式为：y=kx+b，依题意，有：
$\left\{\begin{array}{l}{-5k+b=3}\\{-k+b=0}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=-\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
∴直线CD：y=-$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{4}$．
由于PQ∥y轴，设 P（t，$\frac{3}{4}$t²+$\frac{15}{4}$t+3），则 Q（t，-$\frac{3}{4}$t-$\frac{3}{4}$）；
①t＜-5或t＞-1时，d=PQ=（$\frac{3}{4}$t²+$\frac{15}{4}$t+3）-（-$\frac{3}{4}$t-$\frac{3}{4}$）=$\frac{3}{4}$t²+$\frac{9}{2}$t+$\frac{15}{4}$；
②-5＜t＜-1时，d=PQ=（-$\frac{3}{4}$t-$\frac{3}{4}$）-（$\frac{3}{4}$t²+$\frac{15}{4}$t+3）=-$\frac{3}{4}$t²-$\frac{9}{2}$t-$\frac{15}{4}$；
若以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形，由于PQ∥CE，则PQ=CE=3，则有：
$\frac{3}{4}$t²+$\frac{9}{2}$t+$\frac{15}{4}$=3，解得：t₁=-3+2$\sqrt{2}$，t₂=-3-2$\sqrt{2}$；
-$\frac{3}{4}$t²-$\frac{9}{2}$t-$\frac{15}{4}$=3，解得：t=-3；
综上，当t=-3+2$\sqrt{2}$或t=-3-2$\sqrt{2}$或-3时，以P，Q，C，E为顶点的四边形是平行四边形．