Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点C(-4，0)，点分别在轴， 轴的正半轴上，线段OA、OB的长度都是方程.的解，且OB＞OA。若点从点出发，以每秒1个单位的速度沿射线运动，连结。

（1）判断三角形ABC的形状

（2）求出的面积关于点的运动时间秒的函数关系式．

（3）在点P的运动过程中，利用备用图探究，求周长最短时点P运动的时间。

Answer 1

【答案】（1）△ABC为Rt△；

（2）S△PAD= ；（3）

【解析】试题分析：

(1) 观察图形，线段BC、AB、AC与OB的位置关系与射影定理的典型图形相像，容易联想到利用与射影定理相关的条件去判断三角形形状. 解方程易知OA、OB的长度，可以发现OB是OA，OC的比例中项，进而利用相似三角形的判定与性质可以判断△ABC为直角三角形.

(2) 解决三角形面积相关的问题往往需要先确定底和高. 在△AOP中，OA始终不变并且以OA为底的高与y轴平行. 故可以选OA为底，再由点P作出相应的高. 利用高与坐标轴的平行关系，可以通过相似三角形确定所求的函数关系.

(3) 周长最短问题实际是线段之和最短问题. 由题意可知，应该作点A关于直线CB的对称点A'，连接OA'，当点P为OA'与CB的交点时，三角形周长最小. 由于题目中要求研究该过程，所以需要在解答时较为详细地说明上述最小的原因. 求解当点P为OA'与CB的交点时点P的运动时间，先求解点P的坐标. 由于点P为交点，可以联立直线OA'与CB的方程进行求解. 直线CB的方程易得，直线OA'的方程需要点A'的坐标. 由于点A与点A'关于直线CB对称，可以利用相似三角形解出点A'的坐标. 得到点P的坐标后可以借助第(2)问中的关系将运动时间求出.

试题解析：

(1) △ABC为直角三角形. 理由如下：

∵OA、OB的长度是方程x2-3x+2=0的解，且OB>OA，

又∵x2-3x+2=0的两个解为：x1=2，x2=1，

∴OB=2，OA=1，

∵点C的坐标为(-4, 0)，

∴OC=4，

∵OB2=4，OAOC==4，

∴OB2= OAOC，即，

∵在△AOB与△BOC中：

，∠AOB=∠BOC=90°，

∴△AOB∽△BOC，

∴∠ABO=∠BCO，∠OAB=∠OBC，

∵在Rt△AOB中，∠ABO+∠OAB=90°，

∴∠ABC=∠ABO+∠OBC=∠ABO+∠OAB=90°，

∴△ABC为直角三角形.

(2)

过点P作PD⊥AC，垂足为D. (如图)

∵PD⊥AC，OB⊥AC，

∴PD∥OB，

∴△CPD∽△CBO，

∴，

∵点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，且点P运动时间为t，

∴CP=1t=t，

∵OB=2，OC=4，

∴在Rt△BOC中， ，

∵，

∴，

∴，

∵OA=1，

∴△AOP的面积.

(3)

延长线段AB至点A'，使得AB=A'B，连接OA'，交直线CB于点P.

下面说明当点P为OA'与CB的交点时△AOP的周长最小.

①当点P (图中实际表示该动点的是点P') 在线段CB上运动时(如备用图1)，

连接A'P'，

∵AB=A'B，∠ABC=90°，

∴直线CB垂直平分线段AA'，

∴AP'=A'P'，

∵△AOP'的周长为：OA+OP'+AP'，

又∵OA=1，

∴△AOP'的周长为：1+OP'+AP'=1+OP'+A'P'，

∴当OP'+A'P'取最小值时，△AOP'的周长最小.

∵当点P'不与点P重合时，线段OP'，A'P'，OA'构成△OP'A'，即OP'+A'P'>OA'，

又∵当点P'与点P重合时，OP'+A'P'=OA'，

∴当点P'与点P重合时，OP'+A'P'最小，即△AOP'的周长最小，

∴当点P在线段CB上运动时，若点P为OA'与CB的交点，则△AOP的周长最小.

②当点P (图中实际表示该动点的是点P") 在线段CB延长线上运动时(如备用图2)，

连接A'P"，

与①同理可得：AP"=A'P"，

又∵△AOP"的周长为：OA+OP"+AP"，

与①同理可得：当OP"+A'P"取最小值时，△AOP"的周长最小，

∵当点P"在线段CB延长线上运动时，线段OP"，A'P"，OA'构成△OP"A'，即OP"+A'P">OA'，

∴当点P在线段CB延长线上运动时，△AOP的周长均大于当点P为OA'与CB交点时的△AOP的周长.

综上所述，当点P为OA'与CB交点时，△AOP的周长最小.

下面求解当点P为OA'与CB交点时点P的运动时间t.

过点A'作A'G⊥AC，垂足为G，(如图3)

∵A'G⊥AC，

∴A'G∥OB，

∴△AGA'∽△AOB

∴，

∵AB=A'B，BO=2，AO=1，

∴， ，

∴A'G=4，AG=2，

∴OG=AG-AO=2-1=1，

∴点A'的坐标为(-1,4)，

∴直线OA'的方程为：y=-4x，

∵点B的坐标为(0,2)，点C的坐标为(-4,0)，

∴直线BC的方程为： ，

∵点P为OA'与CB的交点，

∴联立直线OA'与BC的方程：

，

解之，得： ，

即当点P的坐标为时，△AOP的周长最小.

由第(2)问的结论知，△AOP的面积，

∵当点P的坐标为时，△AOP的面积，

∴ (秒)，

即△AOP的周长最短时点P运动的时间为秒.