Question

3．已知关于x的一元二次方程：x²-（m-3）x-m=0．
（1）试判断原方程根的情况；
（2）若方程的两根为x₁，x₂，且（x₁-3）（x₂-3）=10，求m的值．

Answer 1

分析 （1）先计算判别式的值，再配方得到△=（m-1）²+8，利用非负数的性质得（m-1）²+8＞0，即△＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况；
（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=m-3，x₁•x₂=-m，再由（x₁-3）（x₂-3）=10得到x₁•x₂-3（x₁+x₂）+9=10，则-m-3（m-3）+9=10，然后解关于m的一次方程即可．

解答 解：（1）△=（m-3）²-4（-m）
=m²-6m+9+4m
=m²-2m+9
=（m-1）²+8，
∵（m-1）²＞0，
∴（m-1）²+8＞0，即△＞0，
∴方程有两个不相等的两个实数根；
（2）根据题意得x₁+x₂=m-3，x₁•x₂=-m，
∵（x₁-3）（x₂-3）=10，
∴x₁•x₂-3（x₁+x₂）+9=10，
∴-m-3（m-3）+9=10，
∴m=2．

点评 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了根与系数的关系．