Question

8．如图所示，抛物线y₁=-ax²+（a-1）x+1经过点P（-$\frac{1}{3}$，$\frac{10}{9}$），且与抛物线y₂=ax²-（a+1）x-1相交于A，B两点．
（1）求a的值；
（2）求这两条抛物线交点A、B的坐标；
（3）记A，B两点的横坐标分别为x_A，x_B，若在x轴上有一动点Q（x，0），且x_A≤x≤x_B，过Q作一条垂直于x轴的直线，与两条抛物线分别交于C，D两点，试问当x为何值时，线段CD的长有最大值？其最大值为多少？

Answer 1

分析 （1）抛物线y₁=-ax²+（a-1）x+1经过点P（-$\frac{1}{3}$，$\frac{10}{9}$），则把P点的坐标代入解析式就可以求出a的值．
（2）求出a的值以后，两个函数的解析式就可以求出，然后联立方程，解方程即可求得交点A、B的坐标．
（3）线段CD的长度可以用x表示出来，即y₂与y₁的差．CD的长度就可以表示为x的一个二次函数，求CD的最值，就是求函数的最值问题．

解答 解：（1）∵点P（-$\frac{1}{3}$，$\frac{10}{9}$）在抛物线y₁=-ax²-ax+1上，
∴-$\frac{1}{9}$a-$\frac{1}{3}$a+$\frac{1}{3}$+1=$\frac{10}{9}$，
解得a=$\frac{1}{2}$．

（2）∵a=$\frac{1}{2}$，
∴抛物线y=-$\frac{1}{2}x$²-$\frac{1}{2}$x+1，y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-1，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{1}{2}x+1}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}x-1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1+\sqrt{3}}\\{{y}_{1}=-1-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=1-\sqrt{3}}\\{{y}_{2}=-1+\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴点A（1-$\sqrt{3}$，-1+$\sqrt{3}$），B（1+$\sqrt{3}$，-1-$\sqrt{3}$）；

（3）∵a=$\frac{1}{2}$．
∴抛物线y₁开口向下，抛物线y₂开口向上．
根据题意，得CD=y₁-y₂=（-$\frac{1}{2}x$²-$\frac{1}{2}$x+1-$\frac{1}{2}x$²+$\frac{3}{2}$x+1）=-x²+x+2=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$．
∵x_A≤x≤x_B，
∴当x=$\frac{1}{2}$时，CD有最大值$\frac{9}{4}$．

点评 本题主要考查了函数解析式与图象的关系，在函数图象上的点的坐标一定满足函数的解析式．求最值的问题解决的基本思路是转化为函数求最值的问题．