Question

【题目】如图，等边中，AB=6，点D在BC上，BD=4，点E为边AC上一动点（不与点C重合），关于DE的轴对称图形为.

（1）当点F在AC上时，求证：DF//AB；

（2）设的面积为S1，的面积为S2，记S=S1-S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由；

（3）当B，F，E三点共线时。求AE的长。

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）存在最大值，最大值为；（3）.

【解析】

（1）由折叠的性质和等边三角形的性质可得∠DFC=∠A，可证DF∥AB；

（2）过点D作DM⊥AB交AB于点M，由题意可得点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，由△ACD的面积为S1的值是定值，则当点F在DM上时，S△ABF最小时，S最大；

（3）过点D作DG⊥EF于点G，过点E作EH⊥CD于点H，由勾股定理可求BG的长，通过证明△BGD∽△BHE，可求EC的长，即可求AE的长．

解：（1）∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=∠B=∠C=60°，

由折叠可知：DF=DC，且点F在AC上，

∴∠DFC=∠C=60°，

∴∠DFC=∠A，

∴DF∥AB；

（2）存在，如图，

过点D作DM⊥AB交AB于点M，

∵AB=BC=6，BD=4，∴CD=2，∴DF=2，

∴点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，

∴当点F在DM上时，S△ABF最小，

∵BD=4，DM⊥AB，∠ABC=60°，

∴MD=2 ，

∴S△ABF的最小值= ，

∴S最大值=.

（3）如图，过点作于点G，过点E作EH⊥CD于点H，

∵△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE，

∴DF=DC=2，∠EFD=∠C=60°，

∵GD⊥EF，∠EFD=60°，

∴FG=1，DG=FG=，

∵BD2=BG2+DG2，

∴16=3+（BF+1）2，

∴BF=-1，

∴BG=，

∵EH⊥BC，∠C=60°，

∴CH=，EH=HC=,

∵∠GBD=∠EBH，∠BGD=∠BHE=90°，

∴△BGD∽△BHE，

∴，

∴,

∴EC=

∴AE=AC-EC=