“三角形的三条角平分线交于一点 .这点I叫做△ABC的内心.显然内心I到三角形三边的距离相等.这个距离叫做三角形的“内切圆半径 .记作r.下面我们来讨论r的求法(1)已知.如图1.△ABC的三边长AB=c.AC=b.BC=a.面积为S.则S=S△IAB+S△IBC+S△IAC=$\frac{1}{2}r$∴r=$\frac{2S}{a+b+c}$(2)特别地.在Rt� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．“三角形的三条角平分线交于一点”，这点I叫做△ABC的内心，显然内心I到三角形三边的距离相等，这个距离叫做三角形的“内切圆半径”，记作r，下面我们来讨论r的求法

（1）已知，如图1，△ABC的三边长AB=c，AC=b，BC=a，面积为S，则S=S_△IAB+S_△IBC+S_△IAC=$\frac{1}{2}（a+b+c）r$∴r=$\frac{2S}{a+b+c}$（用a、b、c、S表示）
（2）特别地，在Rt△ABC中∠ACB=90°，如图2，（1）中结论仍然成立，而S=$\frac{ab}{2}$故r=$\frac{ab}{a+b+c}$（用a、b、c表示），记作①式；
另外，容易证明四边形IPCQ为正方形，即CP=CQ=r，所以可以得到r的另一种表达方式r=$\frac{a+b-c}{2}$（用a、b、c表示），记作②式；
由上述①式②式相等，请继续推导直角三角形中a、b、c的关系．

分析（1）根据△ABC的面积S=S_△IAB+S_△IBC+S_△IAC进行计算，即可得出r=$\frac{2S}{a+b+c}$；
（2）根据△ABC的面积S=$\frac{ab}{2}$，△ABC的面积S=$\frac{1}{2}（a+b+c）r$，即可得到$\frac{ab}{2}$=$\frac{1}{2}（a+b+c）r$，进而得出$r=\frac{ab}{a+b+c}$，再根据四边形IPCQ为正方形，即可得出$r=\frac{a+b-c}{2}$，最后根据$\frac{ab}{a+b+c}$=$\frac{a+b-c}{2}$进行变形，得到直角三角形中，a、b、c的关系为：a²+b²=c²．

解答解：（1）如图1，∵△ABC的三边长AB=c，AC=b，BC=a，IR⊥AB，IP⊥BC，IQ⊥AC，
∴△ABC的面积S=S_△IAB+S_△IBC+S_△IAC=$\frac{1}{2}$cr+$\frac{1}{2}$ar+$\frac{1}{2}$br=$\frac{1}{2}（a+b+c）r$，
∴r=$\frac{2S}{a+b+c}$，
故答案为：$\frac{1}{2}（a+b+c）r$，$\frac{2S}{a+b+c}$；

（2）如图2，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴△ABC的面积S=$\frac{ab}{2}$，
由（1）可知，△ABC的面积S=$\frac{1}{2}（a+b+c）r$，
∴$\frac{ab}{2}$=$\frac{1}{2}（a+b+c）r$，
∴$r=\frac{ab}{a+b+c}$，①
∵∠IQC=∠QCP=∠CPI=90°，
∴四边形CPIQ是矩形，
又∵IQ=IP，
∴四边形IPCQ为正方形，
∴CP=CQ=r，
∴AQ=b-r，BP=a-r，
又∵AB=AR+BR=AQ+BP，
∴c=b-r+a-r，
∴$r=\frac{a+b-c}{2}$，②
由①②可得，$\frac{ab}{a+b+c}$=$\frac{a+b-c}{2}$，
∴（a+b+c）（a+b-c）=2ab，
∴（a+b）²-c²=2ab，
∴a²+2ab+b²-c²=2ab，
即直角三角形中，a、b、c的关系为：a²+b²=c²．
故答案为：$\frac{ab}{a+b+c}$，$\frac{a+b-c}{2}$．