Question

11．如图，等边三角形ABC中，AB=5，延长BC至点P，使CP=3，将△ABC绕点B顺时针旋转a角（0＜a＜60°），得到△DBE，连接DP、EP，则当△DPE为等腰三角形时，点D到直线BP的距离为3或$\frac{5}{2}$或$\frac{4\sqrt{3}-3}{5}$．

Answer 1

分析 当△DPE为等腰三角形时，分三种情形①当PD=DE=5时，则BD=DP，如图1，过D作DF⊥PB于F．②当PE=DE=5时，如图2，作PM⊥BD交BD的延长线于M．作EF⊥PB于F．作DG⊥PB于G．③当PD=PE=5时，如图3，分别构建方程求解即可．

解答 解：∵在等边三角形ABC中，AB=5，
∴BC=AB=5，
∴BP=8，
∵将△ABC绕点B顺时针旋转a角（0＜a＜60°），得到△DBE，
∴BD=DE=BE=5，
当△DPE为等腰三角形时，
①当PD=DE=5时，则BD=DP，如图1，过D作DF⊥PB于F，则BF=PF=$\frac{1}{2}$BP=4，
∴DF=$\sqrt{D{P}^{2}-P{F}^{2}}$=3，
∴点D到直线BP的距离为3；
②当PE=DE=5时，如图2，作PM⊥BD交BD的延长线于M．作EF⊥PB于F．作DG⊥PB于G．
∵EB=ED=EP，
∴∠BDE+$\frac{1}{2}$∠BED=90°，∠EDP+$\frac{1}{2}$∠DEP=90°，
∴∠BDE+∠EDP+$\frac{1}{2}$∠BEP=180°，
∵∠BDP+∠PDM=180°，
∴∠PDM=$\frac{1}{2}$∠BEP=∠BEF，
∴tan∠PDM=tan∠BEF=$\frac{4}{3}$=$\frac{PM}{DM}$，设PM=4k，DM=3k，
在Rt△MPB中，∵BM²+PM²=PB²，
∴（5+3k）²+（4k）²=8²，
解得k=$\frac{-3+4\sqrt{3}}{5}$或$\frac{-3-4\sqrt{3}}{5}$（舍弃），
∵$\frac{1}{2}$•BD•PM=$\frac{1}{2}$•PB•DG，
∴5×$\frac{-12+16\sqrt{3}}{5}$=8×DG，
∴DG=$\frac{4\sqrt{3}-3}{2}$
③当PD=PE=5时，如图3，
由旋转知，BD=BE=DE=5，∵PB=PB，
∴△DBP≌△EBP，
∴∠DBP=∠EBP，
∵BD=BE，
∴BP⊥DE，
EF=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{5}{2}$；
综上所述，点D到直线BP的距离为3或$\frac{5}{2}$或$\frac{4\sqrt{3}-3}{5}$．
故答案为3或$\frac{5}{2}$或$\frac{4\sqrt{3}-3}{5}$．

点评 本题考查旋转变换、等边三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．