Question

7．如图，点P（$\sqrt{3}$+1，$\sqrt{3}$-1）在双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上．
（1）求k的值；
（2）若正方形ABCD的顶点C，D在双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，顶点A，B分别在x轴和y轴的正半轴上，求点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）将点P的坐标代入双曲线解析式中解答即可；
（2）过点D作DE⊥OA于点E，过点C作CF⊥OB于点F，易证得△CFB≌△BOA≌△AED，易得C（b，a+b），D（a+b，a），继而求得a的值，则可求得点C的坐标；

解答 解：（1）点P（$\sqrt{3}+1$，$\sqrt{3}-1$）在双曲线$y=\frac{k}{x}（x＞0）$上，
将x=$\sqrt{3}+1$，y=$\sqrt{3}-1$代入解析式可得：
k=2；
（2）过点D作DE⊥OA于点E，过点C作CF⊥OB于点F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC，∠CBA=90°，
∴∠FBC+∠OBA=90°，
∵∠CFB=∠BOA=90°，
∴∠FCB+∠FBC=90°，
∴∠FBC=∠OAB，
在△CFB和△AOB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CFB=∠AOB}\\{∠FBC=∠OAB}\\{CB=AB}\end{array}\right.$，
∴△CFB≌△AOB（AAS），
同理可得：△BOA≌△AED≌△CFB，
∴CF=OB=AE=b，BF=OA=DE=a，
设A（a，0），B（0，b），
则D（a+b，a）C（b，a+b），
可得：b（a+b）=2，a（a+b）=2，
解得：a=b=1．
所以点C的坐标为：（1，2）．

点评 此题属于反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，综合性很强，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．