Question

19．如图，在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，过点B作BG⊥AC交⊙O于点E、H，连AD、ED、EC．若BD=8，DC=6，则CE的长为2$\sqrt{21}$．

Answer 1

分析 根据圆周角定理得出∠ADC=90°，即可得出∠BGC=∠ADC=90°，由∠BCG=∠ACD，证得△ADC∽△BGC，对应边成比例$\frac{DC}{CG}$=$\frac{AC}{BC}$，得出CG•AC=DC•BC=6×14=84，连接AE，通过证得△CEG∽△CAE，得出$\frac{CG}{CE}$=$\frac{CE}{AC}$，进一步得出CE²=CG•AC=48，即可解得CE．

解答 解：∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∵BG⊥AC，
∴∠BGC=∠ADC=90°，
∵∠BCG=∠ACD，
∴△ADC∽△BGC，
∴$\frac{DC}{CG}$=$\frac{AC}{BC}$，
∴CG•AC=DC•BC=6×14=84，
连接AE，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠EGC=90°，
∵∠ACE=∠ECG，
∴△CEG∽△CAE，
∴$\frac{CG}{CE}$=$\frac{CE}{AC}$，
∴CE²=CG•AC=84，
∴CE=2$\sqrt{21}$．
故答案为2$\sqrt{21}$．

点评 本题考查了圆周角定理，三角形相似的判定和性质，通过证得三角形相似得出对应边成比例是解题的关键．