Question

11．已知如图：抛物线$y=-\frac{1}{2}{x^2}+2x+\frac{5}{2}$与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，过点D的对称轴交x轴于点E．
（1）如图1，连接BD，试求出直线BD的解析式；
（2）如图2，点P为抛物线第一象限上一动点，连接BP，CP，AC，当四边形PBAC的面积最大时，线段CP交BD于点F，求此时DF：BF的值；
（3）如图3，已知点K（0，-2），连接BK，将△BOK沿着y轴上下平移（包括△BOK）在平移的过程中直线BK交x轴于点M，交y轴于点N，则在抛物线的对称轴上是否存在点G，使得△GMN是以MN为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、B点坐标，根据顶点坐标的定义，可得D点坐标，根据待定系数法，可得答案；
（2）根据平行于BC且与抛物线相切，可得过P点平行BC的直线，根据解方程组，可得P点坐标，根据解方程组，可得F点坐标，根据相似三角形的性质，可得答案；
（3）根据平移的性质，可得直线MN的解析式，根据全等三角形的判定与性质，可得关于b的方程，根据解方程，可得b，根据b的值，可得OM的长，可得EG的长，从而得出答案．

解答 解：（1）在$y=-\frac{1}{2}{x^2}+2x+\frac{5}{2}$中，
令y=0，则-$\frac{1}{2}$x²+2x+$\frac{5}{2}$=0，
解得：x₁=-1．x₂=5，
则A的坐标是（-1，0），B的坐标是（5，0）．
抛物线$y=-\frac{1}{2}{x^2}+2x+\frac{5}{2}$的对称轴是x=2，
把x=2代入解析式得y=$\frac{9}{2}$，则D的坐标是（2，$\frac{9}{2}$）．
设直线BD的解析式是y=kx+b，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{5k+b=0}\\{2k+b=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{2}}\\{b=\frac{15}{2}}\end{array}\right.$，
则直线BD的解析式是y=-$\frac{3}{2}$x+$\frac{15}{2}$；
（2）连接BC，如图2，

$y=-\frac{1}{2}{x^2}+2x+\frac{5}{2}$中，令x=0，则y=$\frac{5}{2}$，则C的坐标是（0，$\frac{5}{2}$）．
设BC的解析式是y=mx+n，
则$\left\{\begin{array}{l}{n=\frac{5}{2}}\\{5m+n=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{n=\frac{5}{2}}\\{m=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
则直线BC的解析式是y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$．
设与BC平行且与抛物线只有一个公共点的直线的解析式是y=-$\frac{1}{2}$x+d．
则-$\frac{1}{2}$x²+2x+$\frac{5}{2}$=-$\frac{1}{2}$x+d，
即x²-5x+（2d-10）=0，
当△=0时，x=$\frac{5}{2}$，
代入$y=-\frac{1}{2}{x^2}+2x+\frac{5}{2}$中得：y=$\frac{35}{8}$，
则P的坐标是（$\frac{5}{2}$，$\frac{35}{8}$）．
又∵C的坐标是（0，$\frac{5}{2}$），
设CP的解析式是y=ex+f，则$\left\{\begin{array}{l}{f=\frac{5}{2}}\\{\frac{5}{2}e+f=\frac{35}{8}}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{f=\frac{5}{2}}\\{e=\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
则直线CP的解析式是y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{5}{2}$．
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x+\frac{5}{2}}\\{y=-\frac{3}{2}x+\frac{15}{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{20}{9}}\\{y=\frac{25}{6}}\end{array}\right.$，
则F的坐标是（$\frac{20}{9}$，$\frac{25}{6}$）．
则$\frac{DF}{BF}$=$\frac{DG}{GE}$=$\frac{\frac{9}{2}-\frac{25}{6}}{\frac{25}{6}}$=$\frac{2}{25}$；
（3）假设存在．
设BK的解析式是y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{5k+b=0}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{2}{5}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
则直线BK的解析式是y=$\frac{2}{5}$x-2，
MN的解析式为y=$\frac{2}{5}$x+b，
当y=0时，x=-$\frac{5}{2}$b，即M（-$\frac{5}{2}$b，0），ME=-$\frac{5}{2}$b-2．
当x=0时，y=b，即N（0，b）．
△GMN是以MN为腰的等腰直角三角形分两种情况：
①MG=MN，∠GMN=90°，如图3所示．

∵∠MGE+∠GME=90°，∠GME+∠EMN=90°，
∴∠MGE=∠OMN．
在△GME和△MNO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MGE=∠NMO}\\{∠MEG=∠NOM}\\{MG=MN}\end{array}\right.$，
∴△GME≌△MNO（AAS），
∴ME=ON，EG=OM，
即-$\frac{5}{2}$b-2=-b．
解得b=-$\frac{4}{3}$．
EG=OM=-$\frac{5}{2}$b=$\frac{10}{3}$，
G点的坐标为（2，$\frac{10}{3}$）；
同理：当点M在x轴负半轴时，G点的坐标为（2，-$\frac{10}{7}$）；
②NG=MN，∠GNM=90°，过点N作NF⊥抛物线对称轴与点F，如图4所示．

∵∠ONG+∠MNO=90°，∠ONG+∠GNF=90°，
∴∠MNO=∠GNF．
在△GNF和△MNO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MNO=∠GNF}\\{∠MON=∠GFN}\\{NG=MN}\end{array}\right.$，
∴△GNF≌△MNO（AAS），
∴NF=ON，FG=OM，
即2=b．
FG=OM=|-$\frac{5}{2}$b|=5，EG=FG-ON=3，
G点的坐标为（2，-3）；
同理：当点N在y轴负半轴时，EG=FG+ON=7，
即G点的坐标为（2，-7）．
综上可知：在抛物线的对称轴上存在点G，使得△GMN是以MN为直角边的等腰直角三角形，点G的坐标为（2，-7）、（2，-3）、（2，-$\frac{10}{7}$）或（2，$\frac{10}{3}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题，（1）利用自变量与函数值的对应关系，得出A、B点坐标是解题关键，又利用待定系数法求函数解析式；（2）利用平行BC且与抛物线相切得出P点坐标是解题关键，利用相似三角形的性质便于得出答案；（3）利用平移的性质得出MN的解析式是解题关键，又利用全等三角形的性质得出关于b的方程．