Question

13．在?ABCD中，AB=5，BC=7，对角线AC和BD相交于点O，如果将点A绕着点O顺时针旋转90°后，点A恰好落在平行四边形ABCD的边AD上，那么AC的长是$4\sqrt{2}$或$3\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 如图，过O点作OE⊥AD于E，过C点作CF⊥AD于F，根据旋转的性质可得△AOA′是等腰直角三角形，△AA′C是等腰直角三角形，再根据勾股定理可求AA′，再根据等腰直角三角形的性质即可求解．

解答 解：如图，过O点作OE⊥AD于E，过C点作CF⊥AD于F，
∵将点A绕着点O顺时针旋转90°后，点A恰好落在平行四边形ABCD的边AD上，
∴△AOA′是等腰直角三角形，
∴△AA′C是等腰直角三角形，
设AA′=x，则CF=x，DF=7-x，
在Rt△CDF中，x²+（7-x）²=5²，
解得x₁=4，x₂=3，
在Rt△CFA中，AC=$4\sqrt{2}$或$3\sqrt{2}$．
故答案为：$4\sqrt{2}$或$3\sqrt{2}$．

点评 考查了旋转的性质，平行四边形的性质，以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．