Question

如图，等腰梯形ABCD，AB∥CD，AB落在y=

k

x

上，CD经过点E（0，2），F（2，0），线段AD被y轴垂直平分，S_梯形ABCD=8S_△EOA，则k=

 

．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：△OEF是等腰直角三角形，则E，F关于第一象限的角平分线对称，则A，B关于第一象限的角平分线对称，根据垂直平分线的性质可以证得四边形AEFB是矩形，设AM=x，则AE=DE=CF=

2

x，ME=x，CD=2

2

x+2

2

．根据S_梯形ABCD=8S_△EOA，即可求得x的值，则A的坐标即可求得，代入反比例函数的解析式即可求得k的值．

解答：解：连接AE，BF．
∵点E（0，2），F（2，0），
∴OE=OF=2，即△OEF是等腰直角三角形，且EF=2

2

．
则E，F关于第一象限的角平分线对称，
又∵A，B在y=

k

x

上，且AB∥DC，
∴A，B关于第一象限的角平分线对称．
∴∠OEF=45°，
∴∠DEM=45°，
∵ME⊥AD，
∴∠D=90°-∠DEM=45°，
∵线段AD被y轴垂直平分，
∴∠DAE=∠D=45°，
∴∠AED=90°，
∴AE⊥DC，
∵E，F关于第一象限的角平分线对称，A，B关于第一象限的角平分线对称，
∴四边形AEFB是矩形．AB=EF=2

2

．
设AM=x，则AE=DE=CF=

2

x，ME=x，CD=2

2

x+2

2

．
S_梯形ADCB=

1

2

（AB+CD）•AE=

1

2

（2

2

+2

2

x+2

2

）•

2

x=（4+2x）x．
S△OEA=

1

2

OE•AM=

1

2

×2x=x．
∵S_梯形ABCD=8S_△EOA，
∴（4+2x）x=8x，解得：x=2，
则ME=2，OM=ME+OE=2+2=4，
则A的坐标是（2，4），代入y=

k

x

，得：k=8．
故答案是：8．

点评：本题考查了反比例函数的对称性，以及垂直平分线的性质，正确证得四边形AEFB是矩形是关键．