Question

13．如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，2），B（4，0），C（6，4），求△ABC的周长与面积．

Answer 1

分析 先利用两点间的距离计算出AB、BC、AC的长，则可计算出△ABC的面积，再利用勾股定理的逆定理得到△ABC为直角三角形，∠ABC=90°，然后根据三角形面积公式计算△ABC的面积．

解答 解：∵A（0，2），B（4，0），C（6，4），
∴AB=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{（6-4）^{2}+（4-0）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，AC=$\sqrt{（6-0）^{2}+（4-2）^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=2$\sqrt{5}$+2$\sqrt{5}$+2$\sqrt{10}$=4$\sqrt{5}$+2$\sqrt{10}$；
∵AB²+BC2=AC²，
∴△ABC为直角三角形，∠ABC=90°，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{5}$•2$\sqrt{5}$=10．

点评 本题考查了两点间的距离公式：设有两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则这两点间的距离为AB=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$．