Question

1．如图，点A是双曲线y=$\frac{4}{x}$（x＜0）上一点，AO的延长线交双曲线y=$\frac{{k}^{2}}{x}$（x＞0，k＞0）于点B，BC⊥x轴，若S_△ABC=7.5，则k的值为3．

Answer 1

分析 过点A作AD⊥y轴于点D，则△AOD∽△OBC，由相似三角形的性质可得出$\frac{AD}{OC}$=$\frac{OD}{BC}$=$\sqrt{\frac{{S}_{△AOD}}{{S}_{△OBC}}}$，再根据反比例函数系数k的几何意义即可得出S_AOD=$\frac{1}{2}$×4=2、S_OBC=$\frac{1}{2}$k²，结合三角形的面积公式以及S_△ABC=7.5即可得出关于|k|的一元二次方程，解之即可得出|k|的值，结合k＞0即可得出结论．

解答 解：过点A作AD⊥y轴于点D，如图所示．
∵AD⊥y轴，BC⊥x轴，
∴AD∥OC，∠ADO=∠OCB=90°，
∴∠OAD=∠BOC，
∴△AOD∽△OBC，
∴$\frac{AD}{OC}$=$\frac{OD}{BC}$=$\sqrt{\frac{{S}_{△AOD}}{{S}_{△OBC}}}$．
∵S_AOD=$\frac{1}{2}$×4=2，S_OBC=$\frac{1}{2}$k²，
∴$\frac{AD}{OC}$=$\sqrt{\frac{{S}_{△AOD}}{{S}_{△OBC}}}$=$\frac{2}{|k|}$，
∴S_AOC=$\frac{1}{2}$OC•OD=$\frac{1}{2}$$\frac{|k|}{2}$AD•OD=|k|．
∵S_△ABC=S_OBC+S_OBC=$\frac{1}{2}$k²+|k|=7.5，
解得：|k|=3或|k|=-5（舍去），
∵k＞0，
∴k=3．
故答案为：3．

点评 本题考查了反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程，根据三角形的面积公式找出关于|k|的一元二次方程是解题的关键．