Question

19．如图，经过原点的抛物线y=-x²+6x与x轴的另一个交点为A．
（1）求点A的坐标及抛物线的顶点坐标；
（2）P是抛物线对称轴上的任意一点，将线段PA绕点P沿逆针方向旋转90°得到线段PA′，若点A′恰好落在抛物线上，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）令y=0得-x²+6x=0，求得方程的解，从而得到点A的坐标，利用配方法求得抛物线的顶点坐标即可；
（2）过点A′作A′B⊥PC，垂足为B．先证明△PBA′≌△ACP于是得到PC=A′B，AC=PB=3，点P的坐标为（3，a），则点A′的坐标为（3+a，3+a）．将点A′的坐标代入抛物线的解析式可求得a=2或a=-3，从而可求得点P的坐标为（3，2）或（3，-3）．

解答 解：（1）令y=0得：-x²+6x=0，
解得：x₁=0，x₂=6．
y=-x²+6x=-（x²-6x+9-9）=-（x-3）²+9．
∴顶点坐标为（3，9）．
（2）如图所示，过点A′作A′B⊥PC，垂足为B．

∵∠APA′是直角三角形，
∴∠APA′=90°．
∴∠A′PB+∠APC=90°．
又∵∠PAC+∠APC=90°，
∴∠A′PB=∠PAC．
在△PBA′和△ACP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A′BP=∠PCA=90°}\\{∠A′PB=∠PAC}\\{PA′=PA}\end{array}\right.$，
∴△PBA′≌△ACP．
∴PC=A′B，AC=PB=3．
设点P的坐标为（3，a），则点A′的坐标为（3+a，3+a）．
将点A′的坐标代入抛物线的解析式得：-（3+a）²+6（3+a）=3+a．
解得：a=2或a=-3．
∴点P的坐标为（3，2）或（3，-3）．

点评 本题主要考查的是求二次函数的解析式，全等三角形的性质和判定，利用全等三角形的性质得到点A的坐标（含字母a的式子）是解题的关键．