Question

2．将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得△AB′C′，即如图①，∠BAB′=8，$\frac{AB′}{AB}$=$\frac{B′C′}{BC}$=$\frac{AC′}{AC}$=n，我们将这种变换记为[θ，n]

（1）如图1，△ABC 中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B，C，C′在同一条直线上，且四边形ABB′C′为矩形，求θ和n的值；
（2）如图2，△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，对△ABC做变换[θ，n]△AB′C′，使得点B，C，B′在同一直线上，且四边形ABB′C′为平行四边形，求θ和n的值；
（3）如图3，△ABC中，CB=AC=2，AB=3，∠BAC=40°，对△ABC做变换[θ，n]△ADE，使得点B，C，E在同一直线上，且四边形ABDE为等腰梯形（AE∥BD），求①θ和n的值；②BE的长．

Answer 1

分析 （1）由四边形 ABB′C′是矩形，可得∠BAC′=90°，然后由θ=∠CAC′=∠BAC′-∠BAC，即可求得θ的度数，又由含30°角的直角三角形的性质，即可求得n的值；
（2）由四边形ABB′C′是平行四边形，易求得θ=∠CAC′=∠ACB=75°，又由△ABC∽△B′BA，根据相似三角形的对应边成比例，易得AB²=CB•BB′=CB（BC+CB′），继而求得答案．
（3）由四边形ABDE为等腰梯形，易求得θ=∠CAE=60°，又由△ABC∽△ADE，根据相似三角形的对应边成比例，易得$\frac{AB}{AD}=\frac{AB}{AC}$，继而求得答案．

解答 解：（1）∵四边形 ABB′C′是矩形，
∴∠BAC′=90°．
∴θ=∠CAC′=∠BAC′-∠BAC=90-30=60°．
在 Rt△ABB′中，∠ABB'=90°，∠BAB′=60°，
∴∠AB′B=30°，
∴n=$\frac{A{B}^{'}}{AB}$=2；
（2）∵四边形ABB′C′是平行四边形，
∴AC′∥BB′，
又∵∠BAC=30°，
∴θ=∠CAC′=∠AC′B′=75°．
∴∠BB′A=∠BAC=30°，而∠B=∠B，
∴△ABC∽△B′BA，
∴AB：BB′=CB：AB，
∴AB²=CB•BB′=CB（BC+CB′），
而 CB′=AC=AB=B′C′，BC=1，
∴AB²=1（1+AB），
∴AB=$\frac{1±\sqrt{5}}{2}$，
∵AB＞0，
∴n=$\frac{{B}^{'}{C}^{'}}{BC}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$；
（3）∵四边形ABDE是等腰梯形，
∴AE∥BD，
又∵∠BAC=40°，CB=AC，
∴θ=∠CAE=180°-40°-40°-40°=60°．
∴∠EAD=∠BAC=40°，而∠ABC=∠ADE=40°，
∴△ABC∽△ADE，
∴AB：AD=AC：AE，
∵AB=DE=AE=3，AC=2，
∴AD=AB²÷AC=9÷2=4.5，
∴BE=AD=4.5，
∴n=$\frac{AD}{AB}=\frac{4.5}{3}=1.5$．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、旋转的性质、矩形的性质以及平行四边形的性质．此题综合性较强，难度较大，注意数形结合思想与方程思想的应用，注意辅助线的作法．