Question

对于抛物线y=x²+bx+c，给出以下陈述：
①它的对称轴为x=2；
②它与x轴有两个交点为A、B；
③△APB的面积不小于27（P为抛物线的顶点）．
求①、②、③得以同时成立时，常数b、c的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：

分析：①它的对称轴为x=2，则由对称轴公式得到b的值；
②它与x轴有两个交点为A、B，则根的判别式△＞0；
③△APB的面积不小于27（P为抛物线的顶点），则根据根与系数的关系、抛物线顶点坐标公式求得关于c的不等式，由此可以求得c的取值范围．

解答：解：∵抛物线y=x²+bx+c=（x+

b

2

）²+

4c-b2

4

，抛物线y=x²+bx+c的对称轴为x=2，
∴-

b

2

=2，则b=-4，
∴P点的纵坐标是

4c-b2

4

=c-4，
又∵它与x轴有两个交点为A、B，
∴△=b²-4ac=16-4c＞0，且AB=

b2-4c

=

16-4c

=2

4-c

解得 c＜

1

4

，①
又△APB的面积不小于27，
∴

1

2

×2

4-c

×|c-16|≥27，即

4-c

×|c-16|≥27②
由①②解得 c≤-5．
综上所述，b的值是-4，c的取值范围是c≤-5．

点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点．熟记抛物线顶点坐标公式是解题的关键．