Question

【题目】已知点A（t，1）为函数y＝ax2+bx+4（a，b为常数，且a≠0）与y＝x图象的交点．

（1）求t；

（2）若函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴只有一个交点，求a，b；

（3）若1≤a≤2，设当≤x≤2时，函数y＝ax2+bx+4的最大值为m，最小值为n，求m﹣n的最小值．

Answer 1

【答案】（1）t＝1；（2）或；（3）m﹣n的最小值

【解析】

（1）把A（t，1）代入y＝x即可得到结论；
（2）根据题意得方程组，解方程组即可得到结论；
（3）把A（1，1）代入y＝ax2＋bx＋4得，b＝3a，得到y＝ax2（a＋3）x＋4的对称轴为直线x＝，根据1≤a≤2，得到对称轴的取值范围≤x≤2，当x＝时，得到m＝，当x＝2时，得到n＝，即可得到结论．

解：（1）把A（t，1）代入y＝x得t＝1；

（2）∵y＝ax2+bx+4的图象与x轴只有一个交点，

∴，

∴或；

（3）把A（1，1）代入y＝ax2+bx+4得，b＝﹣3﹣a，

∴y＝ax2﹣（a+3）x+4＝a（x﹣）2﹣，

∴对称轴为直线x＝，

∵1≤a≤2，

∴≤x＝≤2，

∵≤x≤2，

∴当x＝时，y＝ax2+bx+4的最大值为m＝﹣，

当x＝2时，n＝﹣，

∴m﹣n＝，

∵1≤a≤2，

∴当a＝2时，m﹣n的值最小，

即m﹣n的最小值．