Question

【题目】如图，四边形是的内接四边形．，点是的中点，连接相交于点，过点作交延长线于点．

（1）求证：为的切线；

（2）若，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）6

【解析】

（1）连接OA，由垂径定理易得OA⊥BD，再由AE∥BD，可得OA⊥AE，即可得证；

（2）由平行弦所夹的弧相等可推出BC=AD=AB=4，所以四边形ABCD为等腰梯形，过A作AP⊥CD于点P，过B作BQ⊥CD于点Q，易得PQ=AB=4，PD=CQ=0.5，然后利用勾股定理可求出BD，再证明四边形ABDE为平行四边形，可得AE=BD．

（1）如图，连接OA，

∵点A是的中点，

∴OA⊥BD

又∵AE∥BD

∴OA⊥AE

∴AE为的切线．

（2）∵AB∥CD

∴

∴BC=AD=AB=4

∴四边形ABCD为等腰梯形

如图所示，过A作AP⊥CD于点P，过B作BQ⊥CD于点Q，

则四边形ABQP为矩形

∴PQ=AB=4

∵四边形ABCD为等腰梯形

∴AD=BQ，AP=BQ

∴Rt△ADP≌Rt△BCQ（HL）

∴PD=BQ=

在Rt△BCQ中，CQ2+BQ2=BC2

在Rt△BDQ中，

BD2=DQ2+BQ2=

∴BD=6

∵AE∥BD，AB∥DE

∴四边形ABDE为平行四边形

∴AE=BD=6