Question

【题目】如图，在矩形中，，，点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿边运动，到点停止，过点作交于点，把绕点逆时针方向旋转得到 ，点落在线段上，设点的运动时间为 (秒)

(1)求的长，(用含的代数式表示)

(2)求点在的平分线上时的长

(3)设与重合部分图形的周长为，当点与点、均不重合时，求与之间的函数关系

(4)在点运动的同时，点从点出发，以每秒9个单位长度的速度沿折线运动，当点停止运动时，点也随之停止，直接写出点在直线上时的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）（4）或.

【解析】

（1）由，可得，即，推出，，，由此即可解决问题．

（2）如图2中，作于，于，交于，连接．根据列出方程即可解决问题

（3）分两种情形分别讨论即可：①当时，重叠部分是；②当时，重叠部分是四边形．

（4）分两种情形分别列出方程即可解决问题．

解：（1）如图1中，

在中，∵，，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，，

∵，

∴.

（2）如图2中，作于，于，交于，连接.

由，，可得，，

∵平分，

∴，

∴，

∴，

∴时，点在的平分线上.

（3）①如图3 中，作于，交于．

易知，，

当点在上时，，

∴，

∴，

当时，重叠部分是，此时的周长为.

②当时，重叠部分是四边形.

四边形的周长

.

综上所述

(4)如图5中，作于，设交于交于.

易知，，，

.

由题意得或.

解得或.

∴或时，点在直线上.