Question

7．如果，关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”
（1）判断方程x²-x-2=0是否是“倍根方程”；
（2）若点（p，q）在反比例函数y=$\frac{2}{x}$的图象上，那么关于x的一元二次方程px²+3x+q=0是否是“倍根方程”？请说明你的理由；
（3）若（x-2）（mx+n）-0是“倍根方程”，求证“4m²+5mn+n²=0．

Answer 1

分析 （1）解得方程的解后即可利用倍根方程的定义进行判断；
（2）根据点（p，q）在反比例函数y=$\frac{2}{x}$的图象上得到pq=2，然后解方程px²+3x+q=0即可得到正确的结论；
（3）根据（x-2）（mx+n）=0是倍根方程，且x₁=2，x₂=-$\frac{n}{m}$得到$\frac{n}{m}$=-1，或$\frac{n}{m}$=-4，从而得到m+n=0，4m+n=0，进而得到4m²+5mn+n²=（4m+n）（m+n）=0正确．

解答 解：（1）解方程x²-x-2=0得：x₁=2，x₂=-1，
∴方程x²-x-2=0不是倍根方程；

（2）关于x的一元二次方程px²+3x+q=0是“倍根方程”，
理由：∵点（p，q）在反比例函数y=$\frac{2}{x}$的图象上，
∴pq=2，
解方程px²+3x+q=0得：x₁=-$\frac{1}{p}$，x₂=-$\frac{2}{p}$，
∴x₂=2x₁；

（3）∵（x-2）（mx+n）=0是倍根方程，且x₁=2，x₂=-$\frac{n}{m}$，
∴$\frac{n}{m}$=-1或$\frac{n}{m}$=-4，
∴m+n=0，4m+n=0，
∵4m²+5mn+n²=（4m+n）（m+n）=0．

点评 本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，根的判别式，反比例函数图形上点的坐标特征，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键．