Question

17．如图，抛物线y=$\frac{1}{2}$x²$-\frac{5}{2}$x+3与y轴交于点C，与x轴交于点A、B（A在B左侧），点M（4，m）在抛物线上，且在对称轴右侧，点N在抛物线上，△BMN是以BM为直角边的直角三角形，求N点坐标．

Answer 1

分析 首先求得M的坐标，以及A和B的坐标，利用待定系数法求得BM的解析式，然后分成B是直角顶点和M是直角顶点两种情况进行讨论，求得另一直角边的解析式，从而求得N的坐标．

解答 解：在y=$\frac{1}{2}$x²$-\frac{5}{2}$x+3中令x=4，则y=8-10+3=1，
则M的坐标是（4，1）．
在y=$\frac{1}{2}$x²$-\frac{5}{2}$x+3中令y=0，则$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+3=0，解得：x=2或3，
则B的坐标是（3，0）．
设BM的解析式是y=kx+b，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{4k+b=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
则直线BM的解析式是y=x-3．
设经过M且垂直于BM的直线的解析式是y=-x+c，
把（4，1）代入得-4+c=1，解得：c=5，
则解析式是y=-x+5．
根据题意得$\frac{1}{2}$x²$-\frac{5}{2}$x+3=-x+5，
即x²-3x-4=0，
解得：x=-1或4，
则N的横坐标是-1，把x=-1代入y=$\frac{1}{2}$x²$-\frac{5}{2}$x+3=6，则N的坐标是（-1，6）；
设经过B且垂直于BM的直线的解析式是y=-x+d，
把（3，0）代入得-3+c=0，解得：c=3，
则解析式是y=-x+3．
根据题意得$\frac{1}{2}$x²$-\frac{5}{2}$x+3=-x+3，
解得：x=0或3．
当x=0时，y=3，则此时N的坐标是（0，3）．
总之，N的坐标是（-1，6）或（0，3）．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及一次函数的图象互相垂直的关系，求得另一直角边的解析式是本题的关键．