题目内容
5．已知如图1，在边长为4的正方形PQRS中，点M为边PQ中点，点N在边QR上且QN=3，如图2，以△ABC的三边为边长分别向三角形外侧作正方形ABED，BCGF，CAIH．连结EF，GH，DI．若正方形ABED，BCGF，CAIH的面积分别为20，17，13．（1）求△MNS的面积；
（2）求证：△ABC≌MSN；
（3）求△ABC的BC边上的高；
（4）求六边形DEFGHI的面积．
分析 （1）根据三角形面积公式，利用S△MNS=S正方形PQRS-S△PSM-S△QMN-S△SNR进行计算即可；
（2）利用勾股定理分别计算出SM=2$\sqrt{5}$，MN=$\sqrt{13}$，SN=$\sqrt{17}$，再利用正方形的面积公式得到AB=2$\sqrt{5}$，AC=$\sqrt{13}$，BC=$\sqrt{17}$，则AB=MS，BC=MN，AC=SN，于是可根据“SSS”判断△ABC≌△MSN；
（3）作AA′⊥BC于A′，如图2，利用△ABC≌△MSN得到S△ABC=S△MSN=7，然后根据三角形面积公式可计算出AA′；
（4）作HH′⊥CG于H′，如图2，先证明△ACA′≌△HCH′得到AA′=HH′，则根据三角形面积公式得到S△ABC=S△HCG=7，同理可S△ABC=S△BEF=S△ADI=7，然后把三个正方形的面积和三个三角形的面积相加即可得到六边形DEFGHI的面积．
解答 （1）解：S△MNS=S正方形PQRS-S△PSM-S△QMN-S△SNR=4×4-$\frac{1}{2}$×4×2-$\frac{1}{2}$×2×3-$\frac{1}{2}$×1×4=7；
（2）证明：SM=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，MN=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，SN=$\sqrt{{1}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
∵正方形ABED，BCGF，CAIH的面积分别为20，17，13，
∴AB=2$\sqrt{5}$，AC=$\sqrt{13}$，BC=$\sqrt{17}$，
∴AB=MS，BC=MN，AC=SN，
在△ABC和△MSN中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=MS}\\{AC=MN}\\{BC=NS}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△MSN；
（3）解：作AA′⊥BC于A′，如图2，
∵△ABC≌△MSN，
∴S△ABC=S△MSN=7
∴$\frac{1}{2}$BC•AA′=7，即$\frac{1}{2}$×$\sqrt{13}$×AA′=7，解得AA′=$\frac{14\sqrt{13}}{13}$，
即△ABC的BC边上的高为$\frac{14\sqrt{13}}{13}$；
（4）解：作HH′⊥CG于H′，如图2，
∵∠BCG=90°，
∴∠ACB+∠ACH′=90°，
∵∠ACH=90°，
∴∠ACH′+∠HCH′=90°，
∴∠ACB=∠HCH′，
在△ACA′和△HCH′中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AA′C=∠HH′C}\\{∠ACA′=∠HCH′}\\{AC=HC}\end{array}\right.$，
∴△ACA′≌△HCH′，
∴AA′=HH′，
而BC=GC，
∴S△ABC=S△HCG=7，
同理可S△ABC=S△BEF=S△ADI=7，
∴六边形DEFGHI的面积=3×7+20+13+17=71．
点评 本题考查了面积及等积变换：熟练掌握全等三角形的判定与性质和正方形的性质；会利用面积的和差计算不规则图形的面积；灵活运用三角形的面积公式．（4）中证明AA′=HH′得到S△ABC=S△HCG是解决问题的难点．
如图，将等边三角形ABC放在平面直角坐标系中，使得BC在x轴上，点A在y轴正半轴上，已知AB=4，AO=2$\sqrt{3}$，若点D从A出发沿AC向C运动，点P从C出发沿x轴正方向运动，点D、P均以每秒0.5个单位长度的速度同时开始运动，设运动时间为t，运动过程中连接PD并延长交AB于点M．
在平面直角坐标系中，已知A点在y轴正半轴上，B点在x轴负半轴上，C点在x轴正半轴上，BD是△ABC的高，且交y轴于点M．