Question

20．如图，将等边三角形ABC放在平面直角坐标系中，使得BC在x轴上，点A在y轴正半轴上，已知AB=4，AO=2$\sqrt{3}$，若点D从A出发沿AC向C运动，点P从C出发沿x轴正方向运动，点D、P均以每秒0.5个单位长度的速度同时开始运动，设运动时间为t，运动过程中连接PD并延长交AB于点M．
（1）当∠AMD=105°时，求∠DPC的大小．
（2）当△PBM是直角三角形，求出t的值．
（3）在（2）的情况下，连接BD，此时x轴上存在点N，使得组成△BDN为等腰三角形，求出点N的坐标．

Answer 1

分析 （1）由等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=∠CAB=60°，根据三角形的外角的性质得到∠AMD=∠ABC+∠P，代入数据即可得到结果；
（2）由已知条件△PBM是直角三角形，得到∠PMB=90°，求得∠MPB=30°，得到∠CDP=∠DPC=30°，于是得到结论；
（3）由等边三角形的性质得到BO=CO=2，BD=AO=2$\sqrt{3}$，①当BD=BN=2$\sqrt{3}$时，求得N₁（-2-2$\sqrt{3}$，0），N₂（2$\sqrt{3}$-2，0），②当BD=DN=2$\sqrt{3}$，解直角三角形求得N₃（4.0），③当BN=DN时，解直角三角形得到N₄（0，0），于是得到结论．

解答 解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠CAB=60°，
∵∠AMD=∠ABC+∠P，
∵∠AMP=105°，
∴∠DPC=45°；

（2）∵△PBM是直角三角形，
∴PM⊥AB，
∴∠PMB=90°，
∴∠MPB=30°，
∴∠DCP=∠DPC+∠CDP，
，∴∠CDP=∠DPC=30°，
∴CD=CP=AD=$\frac{1}{2}$AC=2，
∴t=2÷0.5=4s；

（3）∵AB=AC，AO⊥BC，
∴BO=CO=2，
∵AD=CD，
∴BD⊥AC，BD=AO=2$\sqrt{3}$，
①当BD=BN=2$\sqrt{3}$时，
∴ON₁=BN₁+OB=2+2$\sqrt{3}$，
ON₂=BN₂-OB=2$\sqrt{3}$-2，
∴N₁（-2-2$\sqrt{3}$，0），N₂（2$\sqrt{3}$-2，0），
②当BD=DN=2$\sqrt{3}$，
∵∠DBN₃=∠DN₃B=30°，
∴BN₃=6，
∴ON₃=4，
∴N₃（4.0），
③当BN=DN时，
∴∠DBN₄=∠BDN₄，
∴BN₄=2，
∴ON₄=0，
∴N₄（0，0），
∴x轴上存在点N，使得△BDN为等腰三角形，点N的坐标为（-2-2$\sqrt{3}$，0）、（0，0）、（2$\sqrt{3}$-2，0）、（4，0）．

点评 本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，特殊角的三角函数，解直角三角形，要根据N点的不同位置进行分类是解题的关键．