Question

如图，在直角坐标系中，已知点M₀的坐标为（1，0），将线段OM₀绕原点O沿逆时针方向旋转45°，再将其延长到M₁，使得M₁M₀⊥OM₀，得到线段OM₁；又将线段OM₁绕原点O沿逆时针方向旋转45°，再将其延长到M₂，使得M₂M₁⊥OM₁，得到线段OM₂，如此下去，得到线段OM₃，OM₄，…，OM_n
（1）写出点M₅的坐标；
（2）求△M₅OM₆的周长；
（3）我们规定：把点M_n（x_n，y_n）（n=0，1，2，3…）的横坐标x_n，纵坐标y_n都取绝对值后得到的新坐标（|x_n|，|y_n|）称之为点M_n的“绝对坐标”．根据图中点M_n的分布规律，请你猜想点M_n的“绝对坐标”，并写出来．

Answer 1

分析：（1）根据等腰直角三角形的性质分别求出M₁、M₂、M₃、M₄的坐标，然后求M₅的坐标．
（2）要求周长，就先根据各点的坐标求出三角形的三边长，然后再求周长．
（3）点M_n的“绝对坐标”可分三类情况来一一分析：当点M在x轴上时；当点M在各象限的分角线上时；当点M在y轴上时．

解答：解：（1）由题得：OM₀=M₀M₁，
∴M₁的坐标为（1，1）．
同理M₂的坐标为（0，2），
M₃的坐标为（-2，2），
M₄的坐标为（-4，0），
M₅（-4，-4）；

（2）由规律可知，OM5=4

2

，
M5M6=4

2

，
OM₆=8，
∴△M₅OM₆的周长是8+8

2

；

（3）由题意知，OM₀旋转8次之后回到x轴的正半轴，
在这8次旋转中，点分别落在坐标象限的分角线上或x轴或y轴上，
但各点“绝对坐标”的横、纵坐标均为非负数，
因此，各点的“绝对坐标”可分三种情况：
①当n=4k时（其中k=0，1，2，3，），点在x轴上，则M_n（2

n

2

，0）；（9分）
②当n=4k-2时（其中k=1，2，3，），点在y轴上，点M_n（0，2

n

2

）；（10分）
③当n=2k-1时，点在各象限的角平分线上，则点M_n（2

n-1

2

，2

n-1

2

）．（12分）

点评：本题综合考查了旋转的性质及坐标系的知识．