Question

【题目】如图，直线l：y=x+m与x轴交于A点，且经过点B（﹣，2）．已知抛物线C：y=ax2+bx+9与x轴只有一个公共点，恰为A点．

（1）求m的值及∠BAO的度数；

（2）求抛物线C的函数表达式；

（3）将抛物线C沿x轴左右平移，记平移后的抛物线为C1，其顶点为P．

平移后，将△PAB沿直线AB翻折得到△DAB，点D能否落在抛物线C1上？

如能，求出此时顶点P的坐标；如不能，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）m=3，∠BAO=30°；（2）y=（x+3）2；（3）能，P的坐标为（21，0）．

【解析】

试题分析：（1）将B的坐标代入直线l的解析式即可求出m的值，求出直线l的解析式后，设直线l与y轴交于点C，求出C的坐标后利用锐角三角函数即可求出∠BAO的度数；（2）由题意知：抛物线必定过（0，9），抛物线与x轴只有一个公共点A，即A点是抛物线的顶点，所以可以设抛物线的顶点式y=a（x+3）2，将（0，9）代入顶点式即可求出a的值；（3）设P的坐标为（h，0），由题意知，点P不能在A的左侧，所以点P在A的右侧，由于点P与D关于AB对称，且点D的坐标在抛物线C1上，所以求出D的坐标后，代入抛物线C1的解析式即可求出h的值．

试题解析：（1）把B（﹣，2）代入y=x+m，∴2=﹣1+m，∴m=3，∴直线l的解析式为y=x+3，设直线l与y轴交于点C,令x=0代入y=x+3，∴y=3，∴C的坐标为（0，3），令y=0代入y=x+3，∴x=﹣3，∴A的坐标为（﹣3，0），∴OC=3，OA=3，∴tan∠BAO==，∴∠BAO=30°；（2）令x=0代入y=ax2+bx+9，∴y=9,∴抛物线C经过（0，9），又∵抛物线C与x轴只有一个公共点，恰为A点，∴A点是抛物线C的顶点，设抛物线的顶点式为y=a（x+3）2，把（0，9）代入y=a（x+3）2，∴a=，∴抛物线C的解析式为y=（x+3）2；（3）设抛物线C1的解析式为y=（x﹣h）2，当点P在A的左侧时，点D一定不在抛物线C1上，此情况不符合题意，当点P在A的右侧时，此时，P（h，0）∴AP=h+3，由对称性可知：AD=AP=h+3，∠DAB=∠PAB=30°，过点D作DE⊥x轴于点E，∴AE=AD=，DE=AE=，∴D的坐标为（，），把D（，）代入y=（x﹣h）2，∴=（）2，∴h=21或h=﹣3，当h=﹣3时，此时P与A重合，此情况不合题意，综上所述，P的坐标为（21，0）．