Question

如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（1，4），双曲线y=

k

x

（x＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，点P是双曲线在矩形OABC内部分上的一点（不与D、E重合），BP交y轴于点F，连接BC．
（1）求k的值；
（2）设P点的坐标为（m，n），请写出n的取值范围；
（3）若点F在OC边上（不与O，C重合），且△BCF∽△COA，求直线FB的解析式．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：（1）先利用点D为BC的中点得到点D的坐标为（

1

2

，4），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k=2；
（2）由于点E的横坐标与A点的横坐标相同，则把x=1代入y=

2

x

得y=2得到E点坐标为（1，2），然后根据点P是双曲线在矩形OABC内部分上的一点（不与D、E重合），即可有2＜n＜4；
（3）根据矩形的性质得OC=4，BC=OA=1，再根据△BCF∽△COA，利用相似比可计算出CF=

1

4

，则OF=OC-CF=

15

4

，可得到F点坐标为（0，

15

4

），然后利用待定系数法确定直线FB的解析式．

解答：解：（1）∵点B的坐标为（1，4），点D为BC的中点，
∴点D的坐标为（

1

2

，4），
把D（

1

2

，4）代入y=

k

x

得k=

1

2

×4=2；
（2）反比例函数解析式为y=

2

x

，
把x=1代入y=

2

x

得y=2，则E点坐标为（1，2），
∵点P是双曲线在矩形OABC内部分上的一点（不与D、E重合），
∴2＜n＜4；
（3）∵四边形OABC为矩形，
∴OC=4，BC=OA=1，
∵△BCF∽△COA，
∴

CF

OA

=

BC

OC

，即

CF

1

=

1

4

，
∴CF=

1

4

，
∴OF=OC-CF=4-

1

4

=

15

4

，
∴F点坐标为（0，

15

4

），
设直线FB的解析式为y=ax+b，
把B（1，4），F（0，

15

4

）代入得

a+b=4 b= 15 4

，解得

a= 1 4 b= 15 4

，
∴直线FB的解析式为y=

1

4

x+

15

4

．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质和三角形相似的性质；会利用待定系数法求一次函数的解析式；理解图形与坐标的关系．