Question

如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠BPC=60°，过点A作⊙O的切线交BP的延长线于点D．
（1）求证：△ADP∽△BDA；
（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若AD=2，PD=1，求线段BC的长．

Answer 1

考点：圆的综合题,全等三角形的判定与性质,切线的判定与性质,相似三角形的判定与性质

专题：证明题,几何综合题,压轴题

分析：（1）首先作⊙O的直径AE，连接PE，利用切线的性质以及圆周角定理得出∠PAD=∠PBA进而得出答案；
（2）首先在线段PC上截取PF=PB，连接BF，进而得出△BPA≌△BFC（AAS），即可得出PA+PB=PF+FC=PC；
（3）利用△ADP∽△BDA，得出

AD

BD

=

DP

DA

=

AP

AB

，求出BP的长，进而得出△ADP∽△CAP，则

AP

CP

=

DP

AP

，则AP²=CP•PD求出AP的长，即可得出答案．

解答：（1）证明：作⊙O的直径AE，连接PE，
∵AE是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，
∴∠DAE=∠APE=90°，
∴∠PAD+∠PAE=∠PAE+∠E=90°，
∴∠PAD=∠E，
∵∠PBA=∠E，∴∠PAD=∠PBA，
∵∠PAD=∠PBA，∠ADP=∠BDA，
∴△ADP∽△BDA；

（2）PA+PB=PC，
证明：在线段PC上截取PF=PB，连接BF，
∵PF=PB，∠BPC=60°，
∴△PBF是等边三角形，
∴PB=BF，∠BFP=60°，
∴∠BFC=180°-∠PFB=120°，
∵∠BPA=∠APC+∠BPC=120°，
∴∠BPA=∠BFC，
在△BPA和△BFC中，

∠PAB=∠FCB ∠BPA=∠BFC PB=FB

，
∴△BPA≌△BFC（AAS），
∴PA=FC，AB=CB，
∴PA+PB=PF+FC=PC；

（3）解：∵△ADP∽△BDA，
∴

AD

BD

=

DP

DA

=

AP

BA

，
∵AD=2，PD=1，
∴BD=4，AB=2AP，
∴BP=BD-DP=3，
∵∠APD=180°-∠BPA=60°，
∴∠APD=∠APC，
∵∠PAD=∠E，∠PCA=∠E，
∴∠PAD=∠PCA，
∴△ADP∽△CAP，
∴

AP

CP

=

DP

AP

，
∴AP²=CP•PD，
∴AP²=（3+AP）•1，
解得：AP=

1+ 13

2

或AP=

1- 13

2

（舍去），
∴BC=AB=2AP=1+

13

．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质和切线的判定与性质等知识，能够熟练运用相似三角形的判定与性质是解题关键．